부분집합 최소 최대 합

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 최댓값을 구한다. 집합 $A$의 부분집합 중 원소의 개수가 $2$인 것은 아래와 같다. $\left\{ 1 , x \right\} , \left\{ 1 , 3 \right\} , \left\{ 1 , y \right\} , \left\{ 1 , 5 \right\}$, $\left\{ x , 3 \right\} , \left\{ x , y \right\} , \left\{ x , 5 \right\}$ $\left\{ 3 , y \right\} , \left\{ 3 , 5 \right\}$, $\left\{ y , 5 \right\}$ $1 < x < 3$, $3 < y < 5$이므로 (가)에서 $m _{1} + m _{2} + m _{3} + \cdots + m _{10}$ $= 1 \times 4 + x \times 3 + 3 \times 2 + y$ $= 3 x + y + 10 \leq 19$ ∴ $3 x + y \leq 9$ (나)에서 $M _{1} + M _{2} + M _{3} + \cdots + M _{10}$ $= x + 3 \times 2 + y \times 3 + 5 \times 4$ $= x + 3 y + 26 \leq 41$ ∴ $x + 3 y \leq 15$ 연립부등식 $1 < x < 3$, $3 < y < 5$, $3 x + y \leq 9$, $x + 3 y \leq 15$ 의 영역을 좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같다.

$12 x + 6 y = p$($p$는 상수)로 놓고 부등식의 영역 안에서 움직여 보면 두 직선의 교점을 지날 때, $p$의 값이 최대이다. $3 x + y = 9$, $x + 3 y = 15$를 연립하면 $\displaystyle x = \frac{3}{2}$, $\displaystyle y = \frac{9}{2}$ 따라서 $12 x + 6 y$의 최댓값은 $\displaystyle 12 \times \frac{3}{2} + 6 \times \frac{9}{2} = 45$