미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부분적분 정적분

문제

2π3πxsinxdx\displaystyle \int _{2 \pi} ^{3 \pi} {x \sin x} dx의 값은? [3점] π\pi2π2 \pi3π3 \pi4π4 \pi5π5 \pi

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해설

부분적분법에 의해 xsinxdx=x(cosx)1(cosx)dx=\displaystyle \int x \sin x dx = x ( - \cos x ) - \int 1 \cdot ( - \cos x ) dx = xcosx+sinx+C- x \cos x + \sin x + C 이므로 2π3πxsinxdx\displaystyle \int _{2\pi} ^{3\pi} x \sin x dx=[xcosx+sinx]2π3π= \left[ - x \cos x + \sin x \right] _{2\pi} ^{3\pi} =3π(1)+0(2π)10= - 3 \pi ( - 1 ) + 0 - ( - 2 \pi ) \cdot 1 - 0=5π= 5 \pi

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