대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부분합의 3의 배수 개수

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 $a _{2 n - 1} = a _{2 n} = n ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 을 만족시킬 때, 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S _{n}$ 이라 하자. 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$ 에 대하여 첫째항부터 제 $240$ 항까지의 값 중에서 $3$ 의 배수를 값으로 하는 모든 항의 개수를 구하시오. [4점]

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120

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[출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제해결하기 $a _{n}$ 부터 $a _{n+5}$ 까지의 항의 값을 $3$ 으로 나눈 나머지를 나열하면 $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $0$ , $0$ 이므로 $S _{n}$ 부터 $S _{n + 5}$ 까지의 항의 값을 $3$ 으로 나눈 나머지를 나열하면 $1$ , $2$ , $1$ , $0$ , $0$ , $0$ 이다. (단, $n = 6 k - 5$ , $k$ 는 자연수) 따라서 $40 \times 3 = 120$

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