미적분Ⅱ급수수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

부분합 극한 계산

문제

무한수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. limnSn=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty ^{}} S _{n} = 2이라 할 때, 극한 limnan+SnSn3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty ^{}} \frac{a _{n} + {S _{n}}}{S _{n} ^{3}}의 값은? [2점] 18\displaystyle \frac{1}{8}14\displaystyle \frac{1}{4}38\displaystyle \frac{3}{8}12\displaystyle \frac{1}{2}58\displaystyle \frac{5}{8}

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해설

limnan+SnSn3=limn2SnSn1Sn3=14\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n} + S _{n}}{S _{n} ^{3}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 S _{n} - S _{n - 1}}{S _{n} ^{3}} = \frac{1}{4} (\becauselimnSn=limnSn1=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n-1} = 2 )

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