미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부분분수로 무한급수 값 구하기

문제

무한급수 ∑n=1∞nn4+n2+1\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{n}{n ^{4} + n ^{2} + 1} 의 값을 구하면?

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12\displaystyle \frac{1}{2}

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해설

주어진 식을 변형하면 ∑n=1∞nn4+n2+1=lim⁡n→∞∑k=1n12(1k2−k+1−1k2+k+1)\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{n}{n ^{4} + n ^{2} + 1} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k ^{2} - k + 1} - \frac{1}{k ^{2} + k + 1} \right)} \\ \end{aligned}=lim⁡n→∞12{(1−13)+(13−17)+⋯+(1n2−n+1−1n2+n+1)}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{2} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n ^{2} - n + 1} - \frac{1}{n ^{2} + n + 1} \right) \right\}}=lim⁡n→∞12(1−1n2+n+1)=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n ^{2} + n + 1} \right) = \frac{1}{2}}

태그

#무한급수#부분분수분해#텔레스코핑

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