부분분수 합과 일반항

[출제의도] $\displaystyle \sum\limits$의 뜻을 이용하여 수열의 항의 값을 구한다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{a _{k}} - \frac{1}{a _{k + 1}} \right)$$\displaystyle = \left( \frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{2}} \right) + \left( \frac{1}{a _{2}} - \frac{1}{a _{3}} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{a _{n}} - \frac{1}{a _{n + 1}} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{n + 1}}$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{a _{n + 1}}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{a _{k}} - \frac{1}{a _{k + 1}} \right) = \frac{2 n}{2 n + 1}$ ($n \geq 1$)에서 $\displaystyle 1 - \frac{1}{a _{n + 1}}$$\displaystyle = \frac{2 n}{2 n + 1}$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{2 n + 1}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{a _{n+1}} = \frac{1}{2 n + 1}$ $a _{n + 1} = 2 n + 1$ ($n \geq 1$) $a _{n} = 2 n - 1$ ($n \geq 2$) $a _{1} = 1$이므로 $a _{n} = 2 n - 1$ ($n \geq 1$) 따라서 $a _{10}$$= 20 - 1$$= 19$