대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부분분수 합

문제

수열 {an}\{ a _{n} \}에서 a1=2a _{1} = 2이고 모든 자연수 nn에 대하여 an+1=an+3a _{n+1} = a _{n} + 3일 때, ∑k=1101akak+1\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \frac{1}{a _{k} a _{k+1}}의 값은? [3점] ①316\displaystyle \frac{3}{16}②518\displaystyle \frac{5}{18}③724\displaystyle \frac{7}{24}④532\displaystyle \frac{5}{32}⑤3164\displaystyle \frac{31}{64}

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④

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해설

[출제의도]부분분수로 표현된 수열의 합 구하기 an=3n−1a _{n} = 3 n - 1이므로 1akak+1=13k−1×13k+2\displaystyle \frac{1}{a _{k} a _{k+1}} = \frac{1}{3 k - 1} \times \frac{1}{3 k + 2}이다. ∑k=1101akak+1=∑k=11013(13k−1−13k+2)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \frac{1}{a _{k} a _{k+1}} = \sum\limits _{k = 1} ^{10} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3 k - 1} - \frac{1}{3 k + 2} \right) =13(12−132)=532\displaystyle = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{32} \right) = \frac{5}{32}

태그

#부분분수#등차수열

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