부분분수 합

[출제의도] 이해능력-수열 등차수열 $a _{n}$의 공차를 $d$라 하자. 만약 $d = 0$이라면 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} = 1$이 되어 주어진 등식이 성립하지 않으므로 $d \ne 0$이다. 등차수열의 정의에 의하여 $a _{k + 1} - a _{k} = d$이므로 $\displaystyle \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = \frac{1}{a _{k + 1} - a _{k}} \left( \frac{1}{a _{k}} - \frac{1}{a _{k + 1}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a _{k}} - \frac{1}{a _{k + 1}} \right)$ $a _{1} = 1 , a _{21} = 1 + 20 d$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = \sum\limits _{k = 1} ^{20} \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a _{k}} - \frac{1}{a _{k + 1}} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{d} \left\{ \left( \frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{2}} \right) + \left( \frac{1}{a _{2}} - \frac{1}{a _{3}} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{a _{20}} - \frac{1}{a _{21}} \right) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{21}} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{d} \left( 1 - \frac{1}{1 + 20 d} \right) = \frac{20 d}{d ( 1 + 20 d )}$ $\displaystyle = \frac{20}{1 + 20 d}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = 5$ 에서 $\displaystyle \frac{20}{1 + 20 d} = 5 , 100 d = 15$ $\displaystyle d = \frac{3}{20}$이므로 $\displaystyle a _{11} = 1 + 10 \times \frac{3}{20} = \frac{5}{2}$