대수수열의 합수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

부분분수 급수의 합

문제

121+2+132+23+⋯+1121120+120121\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{121 \sqrt{120} + 120 \sqrt{121}}의 값은? [3점] ①910\displaystyle \frac{9}{10}②1011\displaystyle \frac{10}{11}③1110\displaystyle \frac{11}{10}④1211\displaystyle \frac{12}{11}⑤65\displaystyle \frac{6}{5}

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②

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해설

1(n+1)n+nn+1\displaystyle \frac{1}{( n + 1 ) \sqrt{n} + n \sqrt{n + 1}} =(n+1)n−nn+1(n+1)2n−n2(n+1)\displaystyle = \frac{( n + 1 ) \sqrt{n} - n \sqrt{n + 1}}{( n + 1 ) ^{2} n - n ^{2} ( n + 1 )} =1n−1n+1\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} 이므로 주어진 식의 값은 ∑n=1120(1n−1n+1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{120} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \right) =11−1121\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{121}}=1−111=1011\displaystyle = 1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}

태그

#부분분수#유리화#수열의 합

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