복소수의 상등과 근

[출제의도] 복소수의 성질을 활용하여 문제해결하기 $\left( p + 2 qi \right) ^{2} = p ^{2} - 4 q ^{2} + 4 pqi$이므로 $p ^{2} - 4 q ^{2} = 0$ $\cdots \cdots$㉠ $4 pq = \mathit{-} 16$ $\cdots \cdots$㉡ ㉠에서 $p = 2 q$ 또는 $p = \mathit{-} 2 q$ $p = 2 q$일 때 ㉡에서 $q ^{2} = \mathit{-} 2$이므로 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 두 실수 $p$, $q$는 존재하지 않는다. $p = \mathit{-} 2 q$일 때 ㉡에서 $q ^{2} = 2$이므로 $\displaystyle q = \sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle q = \mathit{-} \sqrt{2}$ $p > 0$이므로 $\displaystyle p = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle q = \mathit{-} \sqrt{2}$ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle p + q = \sqrt{2}$에서 $\displaystyle a = \mathit{-} \sqrt{2}$ $pq = \mathit{-} 4$에서 $b = \mathit{-} 4$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = 18$