공통수학1복소수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

복소수가 양의 실수일 조건

문제

a2+b2=4a ^{2} + b ^{2} = 4인 복소수 z=a+biz = a + bi에 대하여 iz−1\displaystyle \frac{i}{z - 1}가 양의 실수일 때, z2z ^{2}의 값은? (단, aa, bb는 실수이다.) [3점] ①−2+23i\displaystyle - 2 + 2 \sqrt{3} i②2+23i\displaystyle 2 + 2 \sqrt{3 i}③2−23i\displaystyle 2 - 2 \sqrt{3} i④23+2i\displaystyle 2 \sqrt{3} + 2 i⑤23−2i\displaystyle 2 \sqrt{3} - 2 i

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①

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해설

iz−1=ia−1+bi\displaystyle \frac{i}{z - 1} = \frac{i}{a - 1 + bi}=i(a−1−bi)(a−1)2+b2\displaystyle = \frac{i ( a - 1 - bi )}{( a - 1 ) ^{2} + b ^{2}} =b(a−1)2+b2+a−1(a−1)2+b2i\displaystyle = \frac{b}{( a - 1 ) ^{2} + b ^{2}} + \frac{a - 1}{( a - 1 ) ^{2} + b ^{2}} i 이므로, 양의 실수이면 a=1a = 1, b>0b > 0 이다. a2+b2=4a ^{2} + b ^{2} = 4에서 b=3\displaystyle b = \sqrt{3}이므로 z=1+3i\displaystyle z = 1 + \sqrt{3} i z2=(1+3i)2=−2+23i\displaystyle z ^{2} = ( 1 + \sqrt{3} i ) ^{2} = - 2 + 2 \sqrt{3} i

태그

#복소수의 연산#실수 조건#이차식

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