공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

복소수에 대응하는 행렬 보기

문제

복소수 z=a+biz = a + bi(단, a,ba , b는 실수, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1})에 대하여 행렬 ⟨z⟩\left\langle z \right\rangle를 다음과 같이 정의한다. ⟨z⟩=(ab−ba)\displaystyle \left\langle z \right\rangle = \begin{pmatrix} a & b \\ - b & a \end{pmatrix} <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. ⟨(1+2i)(1−2i)⟩=5E\left\langle ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) \right\rangle = 5 E ㄴ. ⟨z+z‾⟩=⟨z⟩+⟨z‾⟩\displaystyle \left\langle z + \overline{z} \right\rangle = \left\langle z \right\rangle + \left\langle \overline{z} \right\rangle ㄷ. ⟨z⟩=A\left\langle z \right\rangle = A일 때, <1z>=A−1\displaystyle < \frac{1}{z} > = A ^{- 1} (단, z≠0z \ne 0)

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 성질 이해하기 복소수 z=a+biz = a + bi에 대하여 ㄱ. <(1+2i)(1−2i)>=<5>=(5005)=5E\displaystyle < ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) > = < 5 > = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 5 E ∴ 참 ㄴ. <z+z‾>=<2a>=(2a002a)\displaystyle < z + \overline{z} > = < 2 a > = \begin{pmatrix} 2 a & 0 \\ 0 & 2 a \end{pmatrix} <z>+<z‾>=<a+bi>+<a−bi>\displaystyle < z > + < \overline{z} > = < a + bi > + < a - bi > =(ab−ba)+(a−bba)\displaystyle = \begin{pmatrix} a & b \\ - b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & - b \\ b & a \end{pmatrix} =(2a002a)\displaystyle = \begin{pmatrix} 2 a & 0 \\ 0 & 2 a \end{pmatrix} ∴ 참 ㄷ. 1z=1a+bi=aa2+b2−ba2+b2i\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi} = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}} - \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}} i 이므로 <1z>=1a2+b2(a−bba)\displaystyle < \frac{1}{z} > = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} \begin{pmatrix} a & - b \\ b & a \end{pmatrix} A=(ab−ba)\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ - b & a \end{pmatrix}일 때, A−1=1a2+b2(a−bba)\displaystyle A ^{- 1} = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} \begin{pmatrix} a & - b \\ b & a \end{pmatrix} ∴ 참

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