공통수학1복소수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

복소수 연산장치 반복

문제

복소수 zz를 입력하면, zi\displaystyle \frac{z}{i}의 값이 계산된 복소수 z′z'이 출력되는 연산장치가 있다.

zi\displaystyle \frac{z}{i} z′z' (입력) (출력) (연산장치)

이 연산장치에 처음 복소수 z0=a+biz _{0} = a + bi를 입력하였더니 z0i\displaystyle \frac{z _{0}}{i}의 값이 계산된 복소수 z1z _{1}이 출력되었다. 다시 이 연산장치에 z1z _{1}을 입력하였더니 z1i\displaystyle \frac{z _{1}}{i}의 값이 계산된 복소수 z2z _{2}가 출력되었다. 이와 같은 과정을 계속하여 z3z _{3}, z4z _{4}, z5z _{5}, ⋯\cdots이 출력되었다. z2009=2+iz _{2009} = 2 + i 일 때, a−ba - b의 값은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1} 이고 aa, bb는 실수이다.) [3점] ①−3- 3②−1- 1③00④11⑤33

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①

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해설

[출제의도] 복소수의 연산에 관한 성질을 이해하기 복소수 z0z _{0}를 이 연산장치에 입력하면 z1=z0i\displaystyle z _{1} = \frac{z _{0}}{i}가 출력된다. 출력된 값 z1z _{1}을 다시 이 연산장치에 입력하면 z2=z0i2\displaystyle z _{2} = \frac{z _{0}}{i ^{2}}가 출력된다. z2z _{2}를 이 연산장치에 입력하면 z3=z0i3\displaystyle z _{3} = \frac{z _{0}}{i ^{3}}가 출력된다. 이와 같은 과정을 계속해 나갈 때, z2009=z0i2009\displaystyle z _{2009} = \frac{z _{0}}{i ^{2009}}가 출력된다. 한편, i2009=(i4)502⋅i=ii ^{2009} = ( i ^{4} ) ^{502} \cdot i = i (∵i4=1)( \because i ^{4} = 1 )이므로 z2009=z0i=2+i\displaystyle z _{2009} = \frac{z _{0}}{i} = 2 + i이다. 그러므로 z0=(2+i)⋅i=−1+2i=a+biz _{0} = ( 2 + i ) \cdot i = - 1 + 2 i = a + bi에서 a,ba , b가 실수이므로 a=−1a = - 1, b=2b = 2이다. 따라서 a−b=−3a - b = - 3

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