공통수학1복소수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

복소수 식의 값

문제

복소수 z=1+3i1−i\displaystyle z = \frac{1 + 3 i}{1 - i}일 때, z3+2z2+6z+1z ^{3} + 2 z ^{2} + 6 z + 1을 간단히 하면? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [3점] ①11②2i2 i③−2i- 2 i④2+2i2 + 2 i⑤−2+2i- 2 + 2 i

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②

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해설

[출제의도] 복소수의 값 계산하기 z=1+3i1−i=(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i\displaystyle z = \frac{1 + 3 i}{1 - i} = \frac{\left( 1 + 3 i \right) \left( 1 + i \right)}{\left( 1 - i \right) \left( 1 + i \right)} = \frac{- 2 + 4 i}{2} = \mathit{-} 1 + 2 i z+1=2iz + 1 = 2 i의 양변을 제곱하여 정리하면 z2+2x+5=0z ^{2} + 2 x + 5 = 0 z3+2z2+6z+1z ^{3} + 2 z ^{2} + 6 z + 1=z(z2+2z+5)+z+1= z \left( z ^{2} + 2 z + 5 \right) + z + 1 =(−1+2i)+1= \left( - 1 + 2 i \right) + 1 =2i= 2 i

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#복소수#차수 낮추기

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