복소수 제곱이 음의 실수

[출제의도] 복소수의 연산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $\alpha = ( 2 - n - 5 i ) ^{2}$ $= 2 ^{2} + ( - n ) ^{2} + ( - 5 i ) ^{2} + 2 ( - 2 n + 5 n i - 10 i )$ $= 4 + n ^{2} + 25 i ^{2} - 4 n + 10 n i - 20 i$$= ( 4 + n ^{2} - 25 - 4 n ) + ( 10 n - 20 ) i$ $= ( n ^{2} - 4 n - 21 ) + 10 ( n - 2 ) i$ 복소수 $\alpha ^{2}$이 음의 실수가 되려면 $\alpha$는 순허수가 되어야 한다. 그러므로 $n ^{2} - 4 n - 21 = 0$이고 $n - 2 \ne 0$이다. 즉, $( n - 7 ) ( n + 3 ) = 0$, $n \ne 2$에서 $n = 7$ 또는 $- 3$ 그런데 $n$은 자연수이므로 음수가 될 수 없다. ∴ $n = 7$