복소수 거듭제곱 곱

[출제의도] 복소수의 성질을 이해하고, 주어진 식의 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \alpha = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$에서 $\displaystyle \alpha ^{2} = \left( \frac{\sqrt{3} + i}{2} \right) ^{2} = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2} = \beta$ $\cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \alpha ^{3} = \left( \frac{\sqrt{3} + i}{2} \right) ^{3} = i$ $\cdots \text{㉡}$ $\alpha ^{12} = ( \alpha ^{3} ) ^{4} = i ^{4} = 1$ $\cdots \text{㉢}$ $\text{㉠}$에서 $\alpha ^{m} \beta ^{n} = \alpha ^{m} ( \alpha ^{2} ) ^{n} = \alpha ^{m + 2 n}$ $\text{㉡}$에서 $\alpha ^{m} \beta ^{n} = \alpha ^{m + 2 n} = i$을 만족하는 $m + 2 n$의 값 중 최소인 자연수는 $3$이고 $\text{㉢}$에 의해 $m + 2 n$이 가질 수 있는 값은 $3 , 15 , 27 , 39 , \cdots$이다. 그런데 $m$, $n$은 각각 $10$이하의 자연수이므로 $m + 2 n \leq 30$이다. ∴ $m + 2 n = 3 , 15 , 27$ 따라서 구하는 최댓값은 $27$이다.