복소수 거듭제곱 음수

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 문제 해결하기 $\displaystyle \left\{ i ^{n} + \left( \frac{1}{i} \right) ^{2 n} \right\} ^{m} = \left\{ i ^{n} + ( - i ) ^{2 n} \right\} ^{m} = \left\{ i ^{n} + ( - 1 ) ^{n} \right\} ^{m}$ $f \left( n \right) = i ^{n} + \left( - 1 \right) ^{n}$이라 하자. ⅰ) $n = 4 k - 3$($k$는 자연수)일 때 $f \left( n \right) = i - 1$이고 $\left\{ f \left( n \right) \right\} ^{4} = \mathit{-} 2 ^{2}$, $\left\{ f \left( n \right) \right\} ^{12} = \mathit{-} 2 ^{6}$, $\left\{ f \left( n \right) \right\} ^{20} = \mathit{-} 2 ^{10}$, $\cdots$ 이므로 순서쌍 $\left( m , n \right)$은 $\left( 4 , n \right)$, $\left( 12 , n \right)$, $\left( 20 , n \right)$, $\left( 28 , n \right)$, $\left( 36 , n \right)$, $\left( 44 , n \right)$ $6$개이다. 이때 $50$ 이하의 자연수 $n = 1$, $5$, $9$, $\cdots$, $45$, $49$는 $13$개이므로 만족하는 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $78$개이다. ⅱ) $n = 4 k - 1$($k$는 자연수)일 때 $f \left( n \right) = \mathit{-} i - 1$이고 $\left\{ f \left( n \right) \right\} ^{4} = \mathit{-} 2 ^{2}$, $\left\{ f \left( n \right) \right\} ^{12} = \mathit{-} 2 ^{6}$, $\left\{ f \left( n \right) \right\} ^{20} = \mathit{-} 2 ^{10}$, $\cdots$ 이므로 순서쌍 $( m , n )$은 $\left( 4 , n \right)$, $\left( 12 , n \right)$, $\left( 20 , n \right)$, $\left( 28 , n \right)$, $\left( 36 , n \right)$, $\left( 44 , n \right)$ $6$개이다. 이때 $50$ 이하의 자연수 $n = 3$, $7$, $11$, $\cdots$, $47$은 $12$개이므로 만족하는 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $72$개이다. ⅲ) $n = 4 k - 2$, $n = 4 k$($k$는 자연수)일 때 $f \left( n \right)$은 $0$ 또는 $2$이므로 $\left\{ f \left( n \right) \right\} ^{m} \geq 0$이다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 순서쌍 $( m , n )$은 존재하지 않는다. 따라서 $50$ 이하의 자연수 $m$, $n$에 대하여 $\displaystyle \left\{ i ^{n} + \left( \frac{1}{i} \right) ^{2 n} \right\} ^{m}$이 음의 실수인 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $150$이다.