공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

복소수 거듭제곱 보기

문제

자연수 nn에 대하여 복소수 zn=(2i1+i)n\displaystyle z _{n} = \left( \frac{\sqrt{2} i}{1 + i} \right) ^{n}이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [4점]

<보 기>
ㄱ. z2=iz _{2} = i ㄴ. z6=−z2z _{6} = - z _{2} ㄷ. zn+8=znz _{n + 8} = z _{n}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 복소수의 거듭제곱의 성질 추론하기 ㄱ. z2=(2i1+i)2=−22i=i\displaystyle z _{2} = \left( \frac{\sqrt{2} i}{1 + i} \right) ^{2} = \frac{- 2}{2 i} = i(참) ㄴ. z2=iz _{2} = i이므로 z6=z23=i3=−i=−z2z _{6} = z _{2} ^{3} = i ^{3} = - i = - z _{2} (참) ㄷ. z8=z2z6=1z _{8} = z _{2} z _{6} = 1이므로 zn+8=znz _{n + 8} = z _{n} (참)

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