복소수 거듭제곱

$z ^{2}$$= \left( a ^{2} - 1 \right) ^{2} + 2 \left( a ^{2} - 1 \right) ( a - 1 ) i - ( a - 1 ) ^{2}$ $= \left( a ^{2} - 1 \right) ^{2} - ( a - 1 ) ^{2} + 2 \left( a ^{2} - 1 \right) ( a - 1 ) i$ 가 음의 실수이므로 허수부분 $2 \left( a ^{2} - 1 \right) ( a - 1 ) = 2 ( a + 1 ) ( a - 1 ) ^{2} = 0$이다. 그러므로 $a = - 1$ 또는 $a = 1$이다. $a = - 1$이면 $z ^{2} = - 4$, $a = 1$이면 $z ^{2} = 0$에서 $z ^{2}$은 음의 실수이므로 $a = - 1$이다. $a = - 1$을 $z = a ^{2} - 1 + \left( a - 1 \right) i$에 대입하면 $z = - 2 i$ 이고, $\displaystyle \frac{\left( z - {\overline{z}} \right) i}{4} = \frac{\left\{ - 2 i - \left( 2 i \right) \right\} i}{4} = \frac{\left( - 4 i \right) i}{4} = 1$이므로 $\displaystyle \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right) ^{n} = 1$이다. $\displaystyle \alpha = \frac{1 - i}{\sqrt{2}}$라 하면 $\displaystyle \alpha ^{2} = \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right) ^{2} = \frac{- 2 i}{2} = - i$ $\displaystyle \alpha ^{3} = \alpha ^{2} \alpha = \left( - i \right) \times \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right) = \frac{- 1 - i}{\sqrt{2}}$ $\alpha ^{4} = \alpha ^{2} \alpha ^{2} = \left( - i \right) \times \left( - i \right) = - 1$ $\displaystyle \alpha ^{5} = \alpha ^{4} \alpha = \left( - 1 \right) \times \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right) = \frac{- 1 + i}{\sqrt{2}}$ $\alpha ^{6} = \alpha ^{4} \alpha ^{2} = \left( - 1 \right) \times \left( - i \right) = i$ $\displaystyle \alpha ^{7} = \alpha ^{4} \alpha ^{3} = \left( - 1 \right) \times \left( \frac{- 1 - i}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$ $\alpha ^{8} = \alpha ^{4} \alpha ^{4} = \left( - 1 \right) \times \left( - 1 \right) = 1$ $\alpha ^{8} = 1$이므로 $\displaystyle \alpha = \alpha ^{9} = \alpha ^{17} = \cdots = \alpha ^{97} = \frac{1 - i}{\sqrt{2}}$ $\alpha ^{2} = \alpha ^{10} = \alpha ^{18} = \cdots = \alpha ^{98} = - i$ $\displaystyle \alpha ^{3} = \alpha ^{11} = \alpha ^{19} = \cdots = \alpha ^{99} = \frac{- 1 - i}{\sqrt{2}}$ $\alpha ^{4} = \alpha ^{12} = \alpha ^{20} = \cdots = \alpha ^{100} = - 1$ $\displaystyle \alpha ^{5} = \alpha ^{13} = \alpha ^{21} = \cdots = \alpha ^{93} = \frac{- 1 + i}{\sqrt{2}}$ $\alpha ^{6} = \alpha ^{14} = \alpha ^{22} = \cdots = \alpha ^{94} = i$ $\displaystyle \alpha ^{7} = \alpha ^{15} = \alpha ^{23} = \cdots = \alpha ^{95} = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$ $\alpha ^{8} = \alpha ^{16} = \alpha ^{24} = \cdots = \alpha ^{96} = 1$ 이다. 따라서 $\displaystyle \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right) ^{n} = 1$이 되도록 하는 $\mathrm{100}$ 이하의 자연수 $n$은 $\mathrm{8}$의 배수이므로 $n$의 개수는 $\mathrm{12}$이다.