공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

복소수 거듭제곱

문제

100100이하의 자연수 nn에 대하여 (1−i)2n=2ni\left( 1 - i \right) ^{2 n} = 2 ^{n} i 를 만족시키는 모든 nn의 개수를 구하시오. (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 추론하기 (1−i)2n={(1−i)2}n=(−2i)n\left( 1 - i \right) ^{2 n} = \left\{ \left( 1 - i \right) ^{2} \right\} ^{n} = \left( - 2 i \right) ^{n}=2n(−i)n= 2 ^{n} \left( - i \right) ^{n} 이므로 2n(−i)n=2ni2 ^{n} \left( - i \right) ^{n} = 2 ^{n} i에서 (−i)n=i\left( - i \right) ^{n} = i를 만족시키는 n=4k+3n = 4 k + 3(k=0k = 0, 11, 22, ⋯\cdots , 2424)이다. 따라서 100100이하의 모든 자연수 nn의 개수는 2525이다.

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