복소수 거듭제곱

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 추론하기 $49$ 이하의 자연수 $m$에 대하여 $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m}$의 값은 다음과 같다. $m = 1$, $9$, $17$, $\cdots$, $49$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$ $m = 2$, $10$, $18$, $\cdots$, $42$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} = i$ $m = 3$, $11$, $19$, $\cdots$, $43$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} = \frac{- 1 + i}{\sqrt{2}}$ $m = 4$, $12$, $20$, $\cdots$, $44$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} = \mathit{-} 1$ $m = 5$, $13$, $21$, $\cdots$, $45$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} = \frac{\mathit{- 1 - i}}{\sqrt{2}}$ $m = 6$, $14$, $22$, $\cdots$, $46$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} = \mathit{\mathit{-}} i$ $m = 7$, $15$, $23$, $\cdots$, $47$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} = \frac{\mathit{1 - i}}{\sqrt{2}}$ $m = 8$, $16$, $24$, $\cdots$, $48$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} = \mathit{1}$ $49$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $i ^{n}$의 값은 다음과 같다. $n = 1$, $5$, $9$, $\cdots$, $49$일 때, $i ^{n} = i$ $n = 2$, $6$, $10$, $\cdots$, $46$일 때, $i ^{n} = \mathit{-} 1$ $n = 3$, $7$, $11$, $\cdots$, $47$일 때, $i ^{n} = \mathit{-} i$ $n = 4$, $8$, $12$, $\cdots$, $48$일 때, $i ^{n} = 1$ $\displaystyle \left\{ \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} - i ^{n} \right\} ^{2} = 4$이므로 $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} - i ^{n} = 2$ 또는 $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} - i ^{n} = \mathit{-} 2$ (ⅰ) $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} - i ^{n} = 2$인 경우 $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} = 1$, $i ^{n} = \mathit{-} 1$이므로 $m = 48$, $n = 46$일 때 $m + n$은 최댓값 $94$를 갖는다. (ⅱ) $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} - i ^{n} = \mathit{-} 2$인 경우 $\displaystyle \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{m} = \mathit{-} 1$, $i ^{n} = 1$이므로 $m = 44$, $n = 48$일 때 $m + n$은 최댓값 $92$를 갖는다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $m + n$의 최댓값은 $94$이다.