공통수학1복소수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

복소수 거듭제곱

문제

복소수 z=i−12\displaystyle z = \frac{i - 1}{\sqrt{2}}에 대하여 zn+(z+2)n=0\displaystyle z ^{n} + \left( z + \sqrt{2} \right) ^{n} = 0 을 만족시키는 2525 이하의 자연수 nn의 개수를 구하시오. (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [4점]

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6

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해설

nnznz ^{n}(z+2)n\displaystyle \left( z + \sqrt{2} \right) ^{n}zn+(z+2)n\displaystyle z ^{n} + \left( z + \sqrt{2} \right) ^{n}
11−1+i2\displaystyle \frac{- 1 + i}{\sqrt{2}}1+i2\displaystyle \frac{1 + i}{\sqrt{2}}2i\displaystyle \sqrt{2} i
22−i- iii00
331+i2\displaystyle \frac{1 + i}{\sqrt{2}}−1+i2\displaystyle \frac{- 1 + i}{\sqrt{2}}2i\displaystyle \sqrt{2} i
44−1- 1−1- 1−2- 2
551−i2\displaystyle \frac{1 - i}{\sqrt{2}}−1−i2\displaystyle \frac{- 1 - i}{\sqrt{2}}−2i\displaystyle - \sqrt{2} i
66ii−i- i00
77−1−i2\displaystyle \frac{- 1 - i}{\sqrt{2}}1−i2\displaystyle \frac{1 - i}{\sqrt{2}}−2i\displaystyle - \sqrt{2} i
88111122

n=2,6n = 2 , 6일 때 zn+(z+2)n=0\displaystyle z ^{n} + \left( z + \sqrt{2} \right) ^{n} = 0 z8=1z ^{8} = 1, (z+2)8=1\displaystyle \left( z + \sqrt{2} \right) ^{8} = 1이므로 z2=z10=z18z ^{2} = z ^{10} = z ^{18}, z6=z14=z22z ^{6} = z ^{14} = z ^{22} (z+2)2=(z+2)10=(z+2)18\displaystyle \left( z + \sqrt{2} \right) ^{2} = \left( z + \sqrt{2} \right) ^{10} = \left( z + \sqrt{2} \right) ^{18} (z+2)6=(z+2)14=(z+2)22\displaystyle \left( z + \sqrt{2} \right) ^{6} = \left( z + \sqrt{2} \right) ^{14} = \left( z + \sqrt{2} \right) ^{22} zn+(z+2)n=0\displaystyle z ^{n} + \left( z + \sqrt{2} \right) ^{n} = 0을 만족시키는 2525 이하의 자연수 nn은 2,6,10,14,18,222 , 6 , 10 , 14 , 18 , 22이다. 따라서 자연수 nn의 개수는 66

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