공통수학1복소수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

복소수 거듭제곱

문제

두 복소수 z1=21+i\displaystyle z _{1} = \frac{\sqrt{2}}{1 + i}, z2=−1+3i2\displaystyle z _{2} = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}에 대하여 z1n=z2nz _{1} ^{n} = z _{2} ^{n}을 만족시키는 자연수 nn의 최솟값을 구하시오. (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [4점]

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해설

[출제의도] 복소수의 값 추론하기 z1=21+i=1−i2\displaystyle z _{1} = \frac{\sqrt{2}}{1 + i} = \frac{1 - i}{\sqrt{2}}, z12=−iz _{1} ^{2} = - i, z13=−i−12\displaystyle z _{1} ^{3} = \frac{- i - 1}{\sqrt{2}}, z14=−1z _{1} ^{4} = - 1, ⋯\cdots, z18=1z _{1} ^{8} = 1, ⋯\cdots z2=−1+3i2\displaystyle z _{2} = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}, z22=−1−3i2\displaystyle z _{2} ^{2} = \frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2}, z23=1z _{2} ^{3} = 1, ⋯\cdots z1n=z2nz _{1} ^{n} = z _{2} ^{n}을 만족시키는 자연수 nn은 88과 33의 공배수이다. 따라서 자연수 nn의 최솟값은 2424

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