공통수학1복소수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

복소수 거듭제곱

문제

복소수 z=−1+3i2\displaystyle z = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} 에 대하여 z2010+1z2010\displaystyle z ^{2010} + \frac{1}{{z} ^{2010}} 의 값은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [3점] ①−2- 2②−1- 1③00④11⑤22

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⑤

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해설

[출제의도] 복소수의 연산에 관한 성질이해하기 주어진 복소수 zz 에 대하여 (2z+1)2=(3i)2\displaystyle \left( 2 z + 1 \right) ^{2} = \left( \sqrt{3} i \right) ^{2} 4z2+4z+1=−34 z ^{2} + 4 z + 1 = - 3 z2+z+1=0z ^{2} + z + 1 = 0 이므로 z3=1z ^{3} = 1 이다. 따라서 z2010+1z2010=(z3)670+1(z3)670=2\displaystyle z ^{2010} + \frac{1}{z ^{2010}} = \left( z ^{3} \right) ^{670} + \frac{1}{\left( z ^{3} \right) ^{670}} = 2

태그

#허근의 성질#거듭제곱

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