복소수 대응 행렬

복소수 $z _{1} = a + bi$, $z _{2} = c + di$ ($a , b , c , d$는 실수)라 하면 $z _{1} + z _{2} = ( a + c ) + ( b + d ) i$, $z _{1} z _{2} = ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i$이므로 ㄱ. $\displaystyle M ( z _{1} + z _{2} ) = \begin{pmatrix} a + c & & - ( b + d ) \\ b + d & & a + c \end{pmatrix}$ $\displaystyle M ( z _{1} ) + M ( z _{2} ) = \begin{pmatrix} a & & - b \\ b & & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & & - d \\ d & & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + c & & - ( b + d ) \\ b + d & & a + c \end{pmatrix}$ 이므로 $M ( z _{1} ) + M ( z _{2} ) = M ( z _{1} - z _{2} )$이다. $\therefore \text{참}$ ㄴ. $\displaystyle M ( z _{1} ) M ( z _{2} ) = \begin{pmatrix} a & & - b \\ b & & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & & - d \\ d & & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac - bd & & - ( ad + bc ) \\ ad + bc & & ac - bd \end{pmatrix}$ $= M ( z _{1} z _{2} )$ $\therefore \text{참}$ ㄷ. $\left\{ M ( z ) \right\} ^{3} = M ( z ^{3} ) = E$을 만족하는 복소수 $z$는 $z ^{3} = 1$인 $z$를 구하면 된다. $z ^{3} - 1 = ( z - 1 ) ( z ^{2} + z + 1 ) = 0$이므로 $\displaystyle z = 1 , z = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2}$이다. 따라서, 허수 $\displaystyle z = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2}$이 존재한다. $\therefore \text{참}$