복이차식 인수분해

[출제의도] 인수정리를 이용하여 다항식 추론하기 다항식 $P \left( x \right)$가 일차식 $x - a$를 인수로 가지므로 조립제법을 이용하면

에서 몫은 $x ^{3} + ax ^{2} + \left( a ^{2} - 290 \right) x + a ^{3} - 290 a$이고 나머지 $b + a ^{4} - 290 a ^{2} = 0$이다. 따라서 $b = a ^{2} \left( 290 - a ^{2} \right)$이고 $b$가 자연수이므로 $290 - a ^{2} > 0$에서 이를 만족하는 $a$의 값은 $1 , 2 , 3 , \cdots , 17$ 이다. 몫 $x ^{3} + ax ^{2} + \left( a ^{2} - 290 \right) x + a ^{3} - 290 a$가 $x + a$를 인수로 가지므로 조립제법을 이용하면

이고 다항식 $P \left( x \right)$는 $x ^{4} - 290 x ^{2} + b = \left( x - a \right) \left( x + a \right) \left( x ^{2} + a ^{2} - 290 \right)$ 으로 인수분해된다. 조건에 의해 $x ^{2} + a ^{2} - 290$이 계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 두 개의 일차식의 곱으로 인수분해되는 경우는 제외한다. $x ^{2} + a ^{2} - 290 = x ^{2} - \left( 290 - a ^{2} \right)$ 이 계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 두 개의 일차식의 곱으로 인수분해되는 경우는 $290 - a ^{2}$이 제곱수인 경우이다. $290 = 1 ^{2} + 17 ^{2} = 11 ^{2} + 13 ^{2}$ 이므로 $290 - a ^{2}$이 제곱수가 되는 자연수 $a$는 $a = 1$, $a = 11$, $a = 13$, $a = 17$인 경우이다. 그러므로 조건을 만족하는 자연수 $a$의 값의 개수는 $17 - 4 = 13$이므로 모든 다항식 $P \left( x \right)$의 개수는 $13$이다. $b = a ^{2} \left( 290 - a ^{2} \right) = - \left( a ^{2} - 145 \right) ^{2} + 145 ^{2}$이고 $a$가 자연수이므로 $b$의 최댓값은 $a = 12$일 때 $12 ^{2} \times \left( 290 - 12 ^{2} \right)$ 이다. 그러므로 $p = 13$이고 $q = 12 ^{2} \times \left( 290 - 12 ^{2} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{q}{\left( p - 1 \right) ^{2}} = \frac{12 ^{2} \times \left( 290 - 12 ^{2} \right)}{\left( 13 - 1 \right) ^{2}} = 146$이다. [다른 풀이] 다항식 $P \left( x \right)$가 일차식 $x - a$를 인수로 가지므로 $P \left( a \right) = a ^{4} - 290 a ^{2} + b = 0$을 만족한다. $b = - a ^{4} + 290 a ^{2}$, $b = a ^{2} \left( 290 - a ^{2} \right)$ 에서 $b$가 자연수이므로 이를 만족하는 $a$의 값은 $1 , 2 , 3 , \cdots , 17$이고 $P ( x ) = x ^{4} - 290 x ^{2} + b$ $= x ^{4} - 290 x ^{2} + a ^{2} \left( 290 - a ^{2} \right)$ $= \left( x ^{2} - a ^{2} \right) \left( x ^{2} - 290 + a ^{2} \right)$ 이다. $a = 1$이면 $b = 1 ^{2} \times \left( 290 - 1 ^{2} \right) = 289$ $P ( x ) = \left( x ^{2} - 1 \right) \left( x ^{2} - 289 \right) = \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) \left( x + 17 \right) \left( x - 17 \right)$ 으로 인수분해된다. $a = 2$이면 $b = 2 ^{2} \times \left( 290 - 2 ^{2} \right) = 1144$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 2 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 286 \right) = \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) \left( x ^{2} - 286 \right)$ 으로 인수분해된다. $a = 3$이면 $b = 3 ^{2} \times \left( 290 - 3 ^{2} \right) = 2529$ $P ( x ) = \left( x ^{2} - 3 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 281 \right) = \left( x + 3 \right) \left( x - 3 \right) \left( x ^{2} - 281 \right)$ 으로 인수분해된다. $a = 4$이면 $b = 4 ^{2} \times \left( 290 - 4 ^{2} \right) = 4384$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 4 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 274 \right) = \left( x + 4 \right) \left( x - 4 \right) \left( x ^{2} - 274 \right)$ 로 인수분해된다. $a = 5$이면 $b = 5 ^{2} \times \left( 290 - 5 ^{2} \right) = 6625$ $P ( x ) = \left( x ^{2} - 5 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 265 \right) = \left( x + 5 \right) \left( x - 5 \right) \left( x ^{2} - 265 \right)$ 로 인수분해된다. $a = 6$이면 $b = 6 ^{2} \times \left( 290 - 6 ^{2} \right) = 9144$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 6 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 254 \right) = \left( x + 6 \right) \left( x - 6 \right) \left( x ^{2} - 254 \right)$ 로 인수분해된다. $a = 7$이면 $b = 7 ^{2} \times ( 290 - 7 ^{2} ) = 11809$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 7 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 241 \right) = \left( x + 7 \right) \left( x - 7 \right) \left( x ^{2} - 241 \right)$ 으로 인수분해된다. $a = 8$이면 $b = 8 ^{2} \times \left( 290 - 8 ^{2} \right) = 14464$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 8 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 226 \right) = \left( x + 8 \right) \left( x - 8 \right) \left( x ^{2} - 226 \right)$ 으로 인수분해된다. $a = 9$이면 $b = 9 ^{2} \times \left( 290 - 9 ^{2} \right) = 16929$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 9 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 209 \right) = \left( x + 9 \right) \left( x - 9 \right) \left( x ^{2} - 209 \right)$ 로 인수분해된다. $a = 10$이면 $b = 10 ^{2} \times \left( 290 - 10 ^{2} \right) = 19000$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 10 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 190 \right) = \left( x + 10 \right) \left( x - 10 \right) \left( x ^{2} - 190 \right)$ 으로 인수분해된다. $a = 11$이면 $b = 11 ^{2} \times \left( 290 - 11 ^{2} \right) = 20449$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 11 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 169 \right) = \left( x + 11 \right) \left( x - 11 \right) \left( x + 13 \right) \left( x - 13 \right)$ 으로 인수분해된다. $a = 12$이면 $b = 12 ^{2} \times \left( 290 - 12 ^{2} \right) = 21024$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 12 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 146 \right) = \left( x + 12 \right) \left( x - 12 \right) \left( x ^{2} - 146 \right)$ 으로 인수분해된다. $a = 13$이면 $b = 13 ^{2} \times \left( 290 - 13 ^{2} \right) = 20449$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 13 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 121 \right) = \left( x + 13 \right) \left( x - 13 \right) \left( x + 11 \right) \left( x - 11 \right)$ 으로 인수분해된다. $a = 14$이면 $b = 14 ^{2} \times \left( 290 - 14 ^{2} \right) = 18424$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 14 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 94 \right) = \left( x + 14 \right) \left( x - 14 \right) \left( x ^{2} - 94 \right)$ 로 인수분해된다. $a = 15$이면 $b = 15 ^{2} \times \left( 290 - 15 ^{2} \right) = 14625$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 15 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 65 \right) = \left( x + 15 \right) \left( x - 15 \right) \left( x ^{2} - 65 \right)$ 로 인수분해된다. $a = 16$이면 $b = 16 ^{2} \times \left( 290 - 16 ^{2} \right) = 8704$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 16 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 34 \right) = \left( x + 16 \right) \left( x - 16 \right) \left( x ^{2} - 34 \right)$ 로 인수분해된다. $a = 17$이면 $b = 17 ^{2} \times \left( 290 - 17 ^{2} \right) = 289$ $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 17 ^{2} \right) \left( x ^{2} - 1 \right) = \left( x + 17 \right) \left( x - 17 \right) \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)$ 으로 인수분해된다. 계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 세 개의 다항식으로 인수분해되는 경우는 $a$가 $1 , 11 , 13 , 17$일 때를 제외한 $13$가지이므로 모든 다항식 $P \left( x \right)$의 개수 $p = 13$이고 $a = 12$일 때, $b$의 최댓값 $q = 12 ^{2} \times \left( 290 - 12 ^{2} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{q}{\left( p - 1 \right) ^{2}} = \frac{12 ^{2} \times \left( 290 - 12 ^{2} \right)}{\left( 13 - 1 \right) ^{2}} = 146$이다.