공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

복이차식 인수분해

문제

다항식 x4+7x2+16x ^{4} + 7 x ^{2} + 16이 (x2+ax+b)(x2−ax+b)( x ^{2} + ax + b ) ( x ^{2} - ax + b ) 로 인수분해될 때, 두 양수 a,ba , b에 대하여 a+ba + b의 값은? [3점] ①55②66③77④88⑤99

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①

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해설

[출제의도] 고차다항식 인수분해 이해하기 다항식 x4+7x2+16x ^{4} + 7 x ^{2} + 16을 인수분해하면 x4+7x2+16=(x4+8x2+16)−x2=(x2+4)2−x2=(x2+x+4)(x2−x+4)\begin{aligned} x ^{4} + 7 x ^{2} + 16 & = ( x ^{4} + 8 x ^{2} + 16 ) - x ^{2} \\ & = ( x ^{2} + 4 ) ^{2} - x ^{2} \\ & = ( x ^{2} + x + 4 ) ( x ^{2} - x + 4 ) \end{aligned} 이므로 a=1,b=4a = 1 , b = 4이다. 따라서 a+b=5a + b = 5이다.

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