복이차방정식 빈칸

[출제의도] 사차방정식 이해하기 $x ^{2} = X$라 하면 주어진 방정식 $P \left( x \right) = 0$은 $4 X ^{2} - 4 \left( n + 2 \right) X + \left( n - 2 \right) ^{2} = 0$이고 근의 공식에 의해 $X$$\displaystyle = \frac{4 \left( n + 2 \right) \pm \sqrt{16 \left( n + 2 \right) ^{2} - 16 \left( n - 2 \right) ^{2}}}{8}$$\displaystyle = \frac{n + 2 \pm \sqrt{{\square {8 n}} ^{}}}{2}$ 그러므로 $\displaystyle X = \left( \sqrt{\frac{n}{2}} + 1 \right) ^{2}$ 또는 $\displaystyle X = \left( \sqrt{\frac{n}{2}} - 1 \right) ^{2}$ 즉, $\displaystyle x ^{2} = \left( \sqrt{\frac{n}{2}} + 1 \right) ^{2}$ 또는 $\displaystyle x ^{2} = \left( \sqrt{\frac{n}{2}} - 1 \right) ^{2}$에서 $\displaystyle x = \sqrt{\frac{n}{2}} + 1$ 또는 $\displaystyle x = \mathit{-} \sqrt{\frac{n}{2}} - 1$ 또는 $\displaystyle x = \sqrt{\frac{n}{2}} - 1$ 또는 $\displaystyle x = \mathit{-} \sqrt{\frac{n}{2}} + 1$ 방정식 $P \left( x \right) = 0$이 정수해를 갖기 위해서는 $\displaystyle \sqrt{\frac{n}{2}}$이 자연수가 되어야 한다. 자연수 $l$에 대하여 $n = 2 l ^{2}$이어야 하므로 $20$ 이하의 자연수 $n$의 값은 $2$, $8$, $18$ (ⅰ) $n = 2$인 경우 $x = \mathit{-} 2$ 또는 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 이므로 서로 다른 세 개의 정수해를 가진다. (ⅱ) $n = 8$인 경우 $x = \mathit{-} 3$ 또는 $x = \mathit{-} 1$ 또는 $x = 1$ 또는 $x = 3$ 이므로 서로 다른 네 개의 정수해를 가진다. (ⅲ) $n = 18$인 경우 $x = \mathit{-} 4$ 또는 $x = \mathit{-} 2$ 또는 $x = 2$ 또는 $x = 4$ 이므로 서로 다른 네 개의 정수해를 가진다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 방정식 $P \left( x \right) = 0$이 서로 다른 네 개의 정수해를 갖도록 하는 $20$ 이하의 모든 $n$의 값은 ${\square {8}}$, ${\square {18}}$이다. 따라서 $f \left( n \right) = \mathit{8} n$, $a = 8$, $b = 18$이므로 $f \left( b - a \right) = f \left( 10 \right) = 80$이다.