비타민 최소 비용

[출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 최소문제 해결하기 수험생이 하루에 구입해야 할 제품 $\mathrm{P}$의 알의 개수를 $x$, 제품 $\mathrm{Q}$의 알의 개수를 $y$라 하면, 하루에 비타민$\mathrm{B} _{1}$과 비타민$\mathrm{C}$의 섭취량은 각각 $20 x + 10 y ( \mathrm{mg} )$, $20 x + 20 y ( \mathrm{mg} )$이다. 이때, 주어진 조건에서 수험생이 하루에 비타민$\mathrm{B} _{1}$을 $60 \mathrm{mg}$이상, 비타민$\mathrm{C}$를 $80 \mathrm{mg}$이상 섭취해야 하므로 $\displaystyle {\begin{cases} x \geq 0 , y \geq 0 & \\ \begin{aligned} 20 x + 10 y \geq 60 ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} \\ 20 x + 20 y \geq 80 ^{{} ^{{} ^{{} ^{} {}^{}}}} \end{aligned} & \end{cases}} \cdots \text{①}$ 이다. 한편, 수험생이 하루에 제품을 구입할 비용은 $150 x + 100 y$이므로 $150 x + 100 y = k \cdots \text{ ②}$라 하자. 이때, 아래 그림과 같이 ②의 직선을 연립부등식 ①의 영역 위에서 움직일 때, $k$의 값의 최소는 두 직선 $2 x + y = 6 , x + y = 4$의 교점 $\left( 2 , 2 \right)$를 지날 때이다. 따라서 제품 $\mathrm{P}$를 $2$알, 제품 $\mathrm{Q}$를 $2$알 구입하면 되므로 필요한 최소비용은 $150 \times 2 + 100 \times 2 = 500$(원)이다. ∴ $a = 500$