기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

비탈면 도로 경사도

문제

비탈면 위의 직선도로의 경사도를 (수직거리)(수평거리)\displaystyle \frac{( \text{수직거리} )}{( \text{수평거리} )}로 나타낸다. [그림 1]에서 직선도로 AB\mathrm{AB}의 경사도는 BH‾AH‾\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BH}}}{\overline{AH}}이다.

[그림 2]와 같이 지면과 30∘30 ^\circ의 각을 이루는 비탈면 위에 두 직선도로 AB\mathrm{AB}, AC\mathrm{AC}가 있다. 직선도로 AB\mathrm{AB}의 경사도는 13\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}이고, 직선도로 AC\mathrm{AC}의 경사도는 12\displaystyle \frac{1}{2}이다. ∠BAC=θ\mathrm{\angle} BAC = \theta일 때, sin⁡θ\sin \theta의 값은? [4점]

①13\displaystyle \frac{1}{3}②33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}⑤55\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}

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⑤

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해설

[출제의도] 경사도의 정의를 이해하고 활용할수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 두 직선도로 위의 두 점 B′\mathrm{B}', C′\mathrm{C}'을 B′D‾=C′E‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{B' \mathrm{D}}} = \overline{C' \mathrm{E}} = \mathit{1}이 되도록 잡으면 두 직선도로의 경사도가 각각 13,12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{1}{2}이므로 AD‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \sqrt{3}, AE‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = 2, ∠AB′C′=∠ADE=90∘\mathrm{\angle} AB' \mathrm{C}' = \angle ADE = 90 ^\circ 따라서 AB‾′=2,AC‾′=5\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}' = 2 , \overline{AC}' = \sqrt{5}이다. 이때, B′C′‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{B' C'}} = 1이므로 sin⁡θ=B′C′‾AC‾′=55\displaystyle \mathrm{\sin} \theta = \frac{\overline{B' \mathrm{C}'}}{\overline{AC}'} = \frac{\sqrt{5}}{5}

태그

#공간도형#삼수선#실생활

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