공통수학2도형의 이동AI기본 문제 (3점 중반)

비스듬한 도로 위 우물의 최단 거리

문제

그림과 같이 직선 모양의 도로를 직선 y=xy = x로 나타낸 좌표평면에서 두 집 A(1,4)\mathrm{A} ( 1 , 4 ), B(3,8)\mathrm{B} ( 3 , 8 )이 있다. 도로 위의 한 지점 P\mathrm{P}에 우물을 만들어 두 집에서 우물까지의 거리의 합 AP‾+BP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}가 최소가 되게 할 때, 그 최솟값은? [3점] ①25\displaystyle 2 \sqrt{5}②42\displaystyle 4 \sqrt{2}③210\displaystyle 2 \sqrt{10}④52\displaystyle 5 \sqrt{2}⑤62\displaystyle 6 \sqrt{2}

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④

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해설

두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}는 모두 직선 y=xy = x의 위쪽에 있다. 점 B\mathrm{B}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점을 B′\mathrm{B}'이라 하면 xx좌표와 yy좌표가 서로 바뀌므로 B′(8,3)\mathrm{B}' ( 8 , 3 ) BP‾=B′P‾\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{B}' P}이므로 AP‾+BP‾=AP‾+PB′‾≥AB′‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}'} \geq \overline{\mathrm{AB}'} 등호는 점 P\mathrm{P}가 선분 AB′\mathrm{AB}'과 직선 y=xy = x의 교점일 때 성립한다. 따라서 구하는 최솟값은 AB′‾=(8−1)2+(3−4)2=50=52\displaystyle \overline{\mathrm{AB}'} = \sqrt{( 8 - 1 ) ^{2} + ( 3 - 4 ) ^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} ④

태그

#대칭이동#최단거리#실생활#직선 y=x

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