비를 만족시키는 두 점 사이의 거리

$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} : \overline{\mathrm{PB}} = 1 : 3$인 직선 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 3$으로 내분하는 점과 외분하는 점의 두 개이다. 내분하는 점을 $\mathrm{P}$, 외분하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1 \times 10 + 3 \times 2}{1 + 3} , \frac{1 \times 5 + 3 \times 1}{1 + 3} \right)$, 즉 $\mathrm{P} ( 4 , 2 )$ $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1 \times 10 - 3 \times 2}{1 - 3} , \frac{1 \times 5 - 3 \times 1}{1 - 3} \right)$, 즉 $\mathrm{Q} ( - 2 , - 1 )$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{( 4 + 2 ) ^{2} + ( 2 + 1 ) ^{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ (검산: $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 4 \sqrt{5}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \frac{1}{4} \overline{\mathrm{AB}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \frac{3}{4} \overline{\mathrm{AB}} = 3 \sqrt{5}$) 따라서 답은 ④이다.