공통수학1나머지정리와 인수분해AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

빈칸이 있는 조립제법에서 계수와 몫 구하기

문제

다음은 다항식 f(x)=x3+ax2+bx+cf ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c를 x−kx - k로 나눈 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하는 과정의 일부이다. f(x)f ( x )를 x−1x - 1로 나눈 나머지가 22일 때, f(x)f ( x )를 x−kx - k로 나눈 몫을 Q(x)Q ( x )라 하자. Q(3)Q ( 3 )의 값을 구하시오. (단, aa, bb, cc, kk는 상수이다.) [4점]

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해설

둘째 줄 첫 수는 k×1k \times 1이므로 k=2k = 2 둘째 칸에서 a+2=−1a + 2 = - 1이므로 a=−3a = - 3 셋째 칸의 빈칸은 b+2×(−1)=b−2b + 2 \times ( - 1 ) = b - 2 넷째 칸의 빈칸은 2(b−2)=2b−42 ( b - 2 ) = 2 b - 4이므로 나머지는 c+2b−4=3c + 2 b - 4 = 3　㉠ 한편 f(x)f ( x )를 x−1x - 1로 나눈 나머지가 22이므로 f(1)=1−3+b+c=2f ( 1 ) = 1 - 3 + b + c = 2, 즉 b+c=4b + c = 4　㉡ ㉠, ㉡에서 b=3b = 3, c=1c = 1 빈칸을 채우면 다음과 같다. 따라서 Q(x)=x2−x+1Q ( x ) = x ^{2} - x + 1이므로 Q(3)=9−3+1=7Q ( 3 ) = 9 - 3 + 1 = 7이다.

태그

#조립제법#빈칸#나머지정리

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