대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

빈칸 추론 수열 합

문제

다음은 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1n(1k−1n+1)ak=n2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{n + 1} \right) a _{k} = n ^{2} 을 만족시킬 때, ∑k=1nak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}를 구하는 과정이다.

Tn=∑k=1n(1k−1n+1)ak\displaystyle T _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{n + 1} \right) a _{k}라 하자. (ⅰ) T1=1T _{1} = 1이므로 a1=□(가)a _{1} = \square {\left( \text{가} \right)}이다. (ⅱ) 22이상의 자연수 nn에 대하여 Tn=n2T _{n} = n ^{2}에서 Tn−Tn−1=2n−1T _{n} - T _{n - 1} = 2 n - 1이고 Tn=∑k=1nakk−1□(나)×∑k=1nak\displaystyle T _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{k} - \frac{1}{\square {\left( \text{나} \right)}} \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}에서 Tn−Tn−1=1□(다)×∑k=1nak\displaystyle T _{n} - T _{n - 1} = \frac{1}{\square {\left( \text{다} \right)}} \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}이므로 ∑k=1nak=(2n−1)×(□(다))\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \left( 2 n - 1 \right) \times \left( \square {\left( \text{다} \right)} \right)이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nak=(2n−1)×(□(다))\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \left( 2 n - 1 \right) \times \left( \square {\left( \text{다} \right)} \right)이다.

(가)에 알맞은 수를 pp, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(n)f \left( n \right), g(n)g \left( n \right)이라 할 때, f(2p)×g(3p)f \left( 2 p \right) {\times} g \left( 3 p \right)의 값은? [4점] ①190190②200200③210210④220220⑤230230

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③

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해설

[출제의도] 수열의 합을 이용하여 추론하기 Tn=∑k=1n(1k−1n+1)ak\displaystyle T _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{n + 1} \right) a _{k}라 하자. (ⅰ) T1=(1−12)a1=1\displaystyle T _{1} = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) a _{1} = 1이므로 a1=□2a _{1} = \square {2} (ⅱ) 22이상의 자연수 nn에 대하여 Tn=n2T _{n} = n ^{2}에서 Tn−Tn−1=n2−(n−1)2=2n−1T _{n} - T _{n - 1} = n ^{2} - \left( n - 1 \right) ^{2} = 2 n - 1이고 TnT _{n}=∑k=1n(1k−1n+1)ak\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{n + 1} \right) a _{k} =∑k=1nakk−∑k=1nakn+1\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{n + 1} =∑k=1nakk−1□n+1×∑k=1nak\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{k} - \frac{1}{\square {n + 1}} \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} Tn−Tn−1T _{n} - T _{n - 1}=(∑k=1nakk−1n+1∑k=1nak)\displaystyle = \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{k} - \frac{1}{n + 1} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} \right) −(∑k=1n−1akk−1n∑k=1n−1ak)\displaystyle - \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{a _{k}}{k} - \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{k} \right) =ann−1n+1∑k=1nak+1n∑k=1n−1ak\displaystyle = \frac{a _{n}}{n} - \frac{1}{n + 1} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} + \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{k} =−1n+1∑k=1nak+1n∑k=1nak\displaystyle = - \frac{1}{n + 1} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} + \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} =(1n−1n+1)∑k=1nak\displaystyle = \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} =1□n(n+1)×∑k=1nak\displaystyle = \frac{1}{\square {n \left( n + 1 \right)}} \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} 1□n(n+1)×∑k=1nak=2n−1\displaystyle \frac{1}{{\square {n \left( n + 1 \right)}}} \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = 2 n - 1이므로 ∑k=1nak=(2n−1)×(□n(n+1))\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \left( 2 n - 1 \right) \times \left( \square {n \left( n + 1 \right)} \right)이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nak=(2n−1)×(□n(n+1))\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \left( 2 n - 1 \right) \times \left( \square {n \left( n + 1 \right)} \right)이다. 따라서 p=2p = 2, f(n)=n+1f \left( n \right) = n + 1, g(n)=n(n+1)g \left( n \right) = n \left( n + 1 \right)이므로 f(2p)×g(3p)=f(4)×g(6)=5×42=210f \left( 2 p \right) \times g \left( 3 p \right) = f \left( 4 \right) \times g \left( 6 \right) = 5 \times 42 = 210

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#빈칸 추론#시그마#수열의 합과 일반항

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