공통수학2평면좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

빈칸 추론 넓이비

문제

한 변의 길이가 33인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 0<k<10 < k < 1인 실수 kk에 대하여 두 선분 AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC}를 (1−k):k\left( 1 - k \right) : k로 내분하는 점을 각각 P,Q\mathrm{P} , Q라 하고 두 선분 AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC}를 k:(k+1)k : \left( k + 1 \right)로 외분하는 점을 각각 P′,Q′\mathrm{P}' , Q'이라 하자. 삼각형 PBQ\mathrm{PBQ}의 넓이를 S1S _{1}, 삼각형 P′Q′B\mathrm{P}' Q' B의 넓이를 S2S _{2}라 할 때, 다음은 S1:S2=1:4S _{1} : S _{2} = 1 : 4가 되도록 하는 kk의 값을 구하는 과정이다.

두 선분 AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC}의 길이가 모두 33이므로 AP‾=BQ‾=□(가)\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BQ}} = {\square {\left( \text{가} \right)}}, AP′‾=BQ′‾=3k\displaystyle \overline{\mathrm{AP}'} = \overline{\mathrm{BQ}'} = 3 k 이다. 두 점 P,P′\mathrm{P} , P'에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 각각 H,H′\mathrm{H} , H'이라 하면 두 삼각형 PBH\mathrm{PBH}와 P′BH′\mathrm{P}' BH'에서 PH‾:P′H′‾=PB‾:P′B‾={3−(□(가))}:(□(나))\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} : {\overline{\mathrm{P}' H'}} = {\overline{\mathrm{PB}}} : {\overline{\mathrm{P}' B}} = \left\{ 3 - \left( {\square {\left( \text{가} \right)}} \right) \right\} : \left( {\square {\left( \text{나} \right)}} \right) 이므로 S1:S2S _{1} : S _{2}=(12×BQ‾×PH‾):(12×BQ′‾×P′H′‾)\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BQ}}} \times {\overline{\mathrm{PH}}} \right) : \left( \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BQ}'}} \times {\overline{\mathrm{P}' H'}} \right) =(BQ‾×PB‾):(BQ′‾×P′B‾)\displaystyle = \left( {\overline{\mathrm{BQ}}} \times {\overline{\mathrm{PB}}} \right) : \left( {\overline{\mathrm{BQ}'}} \times {\overline{\mathrm{P}' B}} \right) 이다. 따라서 k=□(다)k = {\square {\left( \text{다} \right)}}이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(k)f \left( k \right), g(k)g \left( k \right)라 하고 (다)에 알맞은 수를 pp라 할 때, f(p)×g(p)f \left( p \right) \times g \left( p \right)의 값은? [4점] ①12825\displaystyle \frac{128}{25}②13225\displaystyle \frac{132}{25}③13625\displaystyle \frac{136}{25}④285\displaystyle \frac{28}{5}⑤14425\displaystyle \frac{144}{25}

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⑤

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해설

[출제의도] 선분의 내분점과 외분점을 이용하여 추론하기 두 선분 AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC}의 길이가 모두 33이므로 AP‾=BQ‾=3(1−k)(1−k)+k=□3−3k\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = {\overline{\mathrm{BQ}}} = \frac{3 \left( 1 - k \right)}{\left( 1 - k \right) + k} = {\square {3 - 3 k}} AP′‾:P′B‾=AP′‾:(AP′‾+3)=k:(k+1)\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}'}} : {\overline{\mathrm{P}' B}} = {\overline{\mathrm{AP}'}} : \left( {\overline{\mathrm{AP}'}} + 3 \right) = k : \left( k + 1 \right) AP′‾=BQ′‾=3k\displaystyle \overline{\mathrm{AP}'} = \overline{\mathrm{BQ}'} = 3 k 이다. 두 점 P,P′\mathrm{P} , P'에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 각각 H,H′\mathrm{H} , H'이라 하면 두 삼각형 PBH\mathrm{PBH}와 P′BH′\mathrm{P}' BH'에서 PH‾:P′H′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} : {\overline{\mathrm{P}' H'}}=PB‾:P′B‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{PB}}} : {\overline{\mathrm{P}' B}} =(3−AP‾):(AP′‾+3)\displaystyle = \left( 3 - \overline{\mathrm{AP}} \right) : \left( \overline{\mathrm{AP}'} + 3 \right) ={3−(□3−3k)}:(□3k+3)= \left\{ 3 - \left( {\square {3 - 3 k}} \right) \right\} : \left( {\square {3 k + 3}} \right) 이므로 S1:S2S _{1} : S _{2}=(12×BQ‾×PH‾):(12×BQ′‾×P′H′‾)\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BQ}}} \times {\overline{\mathrm{PH}}} \right) : \left( \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BQ}'}} \times {\overline{\mathrm{P}' H'}} \right) =(BQ‾×PB‾):(BQ′‾×P′B‾)\displaystyle = \left( {\overline{\mathrm{BQ}}} \times {\overline{\mathrm{PB}}} \right) : \left( {\overline{\mathrm{BQ}'}} \times {\overline{\mathrm{P}' B}} \right) =(3−3k)×3k:3k(3+3k)= \left( 3 - 3 k \right) \times 3 k : 3 k \left( 3 + 3 k \right) =(1−k):(1+k)= \left( 1 - k \right) : \left( 1 + k \right)=1:4= 1 : 4 이다. 따라서 k=□35\displaystyle k = {\square {\frac{3}{5}}}이다. f(k)=3−3kf \left( k \right) = 3 - 3 k, g(k)=3k+3g \left( k \right) = 3 k + 3, p=35\displaystyle p = \frac{3}{5}이므로 f(p)×g(p)f \left( p \right) \times g \left( p \right)=65×245\displaystyle = \frac{6}{5} \times \frac{24}{5}=14425\displaystyle = \frac{144}{25}

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