빈칸 추론 부채꼴

[출제의도] 삼각함수를 이용하여 도형의 넓이 추론하기 점 $\mathrm{C}$가 호 $\mathrm{AB}$의 삼등분점 중 점 $\mathrm{A}$에 가까운 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} BOC = {\square {\frac{2}{3} \theta}}$ 이다. 또한, 삼각형 $\mathrm{BOC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\angle} OBC = \angle OCB = \frac{1}{2} \left( \pi - {\square {\frac{2}{3} \theta}} \right)$ 이다. 한편, 삼각형 $\mathrm{BOD}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{BDO} = \pi - \theta - \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{3} \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{2 \theta}{3}$ 이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{BOD}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{OD}}}}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{3} \right)} = \frac{{\overline{\mathrm{OB}}}}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{2 \theta}{3} \right)}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OD}}} = \frac{\cos \frac{\theta}{3}}{{\square {\cos \frac{2}{3} \theta}}}$이다. 한편, 부채꼴 $\mathrm{OAC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times \frac{\theta}{3} = \frac{\theta}{6}$이다. $S \left( \theta \right)$는 삼각형 $\mathrm{COD}$의 넓이에서 부채꼴 $\mathrm{OAC}$의 넓이를 뺀 값이므로 $\displaystyle S \left( \theta \right) = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{\cos \frac{\theta}{3}}{{\square {\cos \frac{2}{3} \theta}}} \times \sin \frac{\theta}{3} - {\square {\frac{\theta}{6}}}$이다. 따라서 $\displaystyle f \left( \theta \right) = \frac{2}{3} \theta$, $\displaystyle g \left( \theta \right) = \cos \frac{2}{3} \theta$, $\displaystyle h \left( \theta \right) = \frac{\theta}{6}$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle g \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle h \left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{\pi}{48}$이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{f \left( \frac{\pi}{2} \right) \times g \left( \frac{\pi}{4} \right)}{h \left( \frac{\pi}{8} \right)} = 8 \sqrt{3}$