비자명해와 원

[출제의도] 연립방정식의 해가 무수히 많을 조건과 원의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \begin{pmatrix} a & 3 - b \\ 1 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$에서 $\displaystyle \begin{pmatrix} a - 1 & 3 - b \\ 1 & a - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$이 $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 가지려면 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix} a - 1 & 3 - b \\ 1 & a - 1 \end{pmatrix}$의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 $( a - 1 ) ^{2} - ( 3 - b ) = 0$ ∴ $b = - ( a - 1 ) ^{2} + 3$ 따라서 점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$의 자취는 그림과 같이 꼭지점이 $( 1 , 3 )$이고, 위로 볼록한 포물선이다.

$x$축과 $y$축에 동시에 접하도록 하는 원의 중심은 두 직선 $y = x$와 $y = - x$가 곡선 $y = - ( x - 1 ) ^{2} + 3$ 과 만나는 점이다. 따라서 구하는 원의 개수는 $4$이다.