블록 쌓기 수열

[출제의도] 계차수열을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기 블록을 $n$층으로 쌓았을 때, 전체블록의 수를 $b _{n}$, 한 면도 보이지 않는 블록의 수를 $c _{n}$이라고 하면 $\displaystyle \begin{aligned} b _{n} & = 1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \cdots + n ^{2} = \frac{n \left( n + 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)}{6} \end{aligned}$ $c _{1} = c _{2} = 0$, $c _{3} = 1 ^{2} = b _{1}$, $c _{4} = 1 ^{2} + 2 ^{2} = b _{2}$ $c _{5} = 1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} = b _{3}$ 이므로 $c _{n + 2} = b _{n}$이다. $a _{n} = b _{n} - c _{n}$이므로 $\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n} & = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( b _{n} - c _{n} \right) \end{aligned}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} b _{n} - \sum\limits _{n = 1} ^{10} c _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} b _{n} - \sum\limits _{n = 1} ^{8} b _{n}$ $= b _{9} + b _{10} = 285 + 385 = 670$