블록 겉넓이 수열

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정육면체 모양의 블록 $5$개를 사용하여 입체도형 $\mathrm{T} \mathit{\mathrm{_{1}}}$을 만들고, $\mathrm{T} _{1}$의 겉넓이를 $a _{1}$이라 하자. 입체도형 $\mathrm{T} \mathit{\mathrm{_{1}}}$에 $9$개의 블록을 더 쌓아서 입체도형 $\mathrm{T} \mathit{\mathrm{_{2}}}$를 만들고, $\mathrm{T} _{2}$의 겉넓이를 $a _{2}$라 하자. 입체도형 $\mathrm{T} \mathit{\mathrm{_{2}}}$에 $16$개의 블록을 더 쌓아서 입체도형 $\mathrm{T} \mathit{\mathrm{_{3}}}$을 만들고, $\mathrm{T} _{3}$의 겉넓이를 $a _{3}$이라 하자. 이와 같은 방법으로 $n$번째 얻은 입체도형 $\mathrm{T} \mathit{\mathrm{_{n}}}$에 $( n + 2 ) ^{2}$개의 블록을 더 쌓아서 도형 $\mathrm{T} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}$을 만들고, $\mathrm{T} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}$의 겉넓이를 $a _{n + 1}$이라 하자. 예를 들어 $a _{1} = 22$, $a _{2} = 48$이다. 이때 $a _{10}$의 값을 구하시오. [4점]