법선과 절편 보기

[출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 추론하기 ㄱ. (참) $\displaystyle f' ( x ) = \frac{1}{3} x ^{2} - \frac{4}{3} x + 2$이므로 $f' ( t ) = 1$은 $\displaystyle \frac{1}{3} t ^{2} - \frac{4}{3} t + 2 = 1$, $\displaystyle \frac{1}{3} ( t ^{2} - 4 t + 3 ) = 0$, $\displaystyle \frac{1}{3} ( t - 1 ) ( t - 3 ) = 0$ $f' ( t ) = 1$ 인 $t$의 값은 1, 3이므로 $t$의 개수는 2이다. ㄴ. (참) 점 $P$에서의 접선에 수직인 직선의 $x$절편이 $g ( t )$, $y$절편이 $h ( t )$이고, 점 $P$에서의 접선의 기울기가 1인 경우 이 접선에 수직인 직선의 $x$절편과 $y$절편이 서로 같게 된다. 즉, 접선의 기울기가 1인 두 접점 $\displaystyle \left( 1 , \frac{13}{9} \right)$, $( 3 , 3 )$에서 접선에 수직인 직선의 $x$절편과 $y$절편이 서로 같고 함수 $f ( x )$는 증가함수이므로 $x = 1$과 $x = 3$을 기준으로 경우를 나누어보자 ⅰ) $0 < x < 1$ 또는 $x > 3$일 때 $f' ( x ) > 1$이므로 접선에 수직인 직선의 기울기는 -1보다 크고 0보다 작다. 기울기가 -1보다 크고 0보다 작은 직선은 $x$절편이 $y$절편보다 크므로 $0 < t < 1$ 또는 $t > 3$일 때 $g ( t ) > h ( t )$이다. ⅱ) $1 \leq x \leq 3$일 때 $\displaystyle \frac{2}{3} \leq f' ( x ) \leq 1$이므로 접선에 수직인 직선의 기울기는 -1보다 작거나 같다. 기울기가 -1보다 작거나 같은 직선은 $y$절편이 $x$절편보다 크거나 같으므로 $1 \leq t \leq 3$일 때 $h ( t ) \geq g ( t )$이다. 그러므로 $t$의 최솟값은 1이다. ㄷ. (거짓) $h ( t ) \geq g ( t )$을 만족시키는 $t$의 최댓값이 3이므로 $\alpha = 3$ 접점 $( 3 , 3 )$에서 접선에 수직인 직선의 방정식은 $y - 3 = - ( x - 3 ) , y = - x + 6$ $h ( 3 )$은 $y = - x + 6$의 $y$절편이므로 $h ( 3 ) = 6$ 따라서 옳은 것은 ㄱ. ㄴ