법선 선분비 최대

함수 $y = a ^{x}$을 $x$에 대하여 미분하면 $y = a ^{x} \ln a$ 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( t , a ^{t} \right)}$에서의 미분계수는 $a ^{t} \ln a$이므로 점 $\mathrm{A}$를 지나고 점 $\mathrm{A}$에서의 접선에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{1}{a ^{t} \ln a} \left( x - t \right) + a ^{t}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 직선 ㉠과 $x$축과 교점 $\mathrm{B}$는 $\displaystyle \frac{1}{a ^{t} \ln a} \left( x - t \right) = a ^{t}$, $x = t + a ^{2t} \ln a$ $\therefore$ $\mathrm{B} \mathit{\left( t + a ^{2t} \ln a , 0 \right)}$ 점 $\mathrm{A}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{A}'$라 하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{AC}}}{\mathrm{\overline{AB}}}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\overline{A' O}}}{\mathrm{\overline{A' B}}}$$\displaystyle = \frac{t}{a ^{2t} \ln a}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡에서 $f \left( t \right)$$\displaystyle = \frac{t}{a ^{2t} \ln a}$라 하면 $f' \left( t \right)$$\displaystyle = \frac{1}{\ln a} \left( a ^{-2t} + t \times a ^{-2t} \times \left( - 2 \right) \times \ln a \right)$ $\displaystyle = a ^{-2t} \left( \frac{1}{\ln a} - 2 t \right)$ 함수 $f \left( t \right)$는 $\displaystyle t = \frac{1}{2 \ln a}$에서 극댓값을 가지고 이 값이 최댓값이므로 $\displaystyle \frac{1}{2 \ln a} = 1$, $\displaystyle \ln a = \frac{1}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle a = \sqrt{e}$