기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

벡터의 내적

문제

좌표평면 위의 점 A(5,0)\mathrm{A} ( 5 , 0 )에 대하여 제11사분면 위의 점 P\mathrm{P}가 ∣OP⃗∣=2\mathrm{\left| {\vec{OP}} \right|} = 2, OP⃗⋅AP⃗=0\mathrm{\vec{OP}} \cdot {\vec{AP}} = 0 을 만족시키고, 제11사분면 위의 점 Q\mathrm{Q}가 ∣AQ⃗∣=1\mathrm{\left| {\vec{AQ}} \right|} = 1, OQ⃗⋅AQ⃗=0\mathrm{\vec{OQ}} \cdot {\vec{AQ}} = 0 을 만족시킬 때, OA⃗⋅PQ⃗\mathrm{\vec{OA}} \cdot \mathrm{\vec{PQ}}의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

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20

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해설

[출제의도] 평면벡터의 내적을 이해하여 벡터의 내적을 구하는 문제를 해결한다. OP⃗⋅AP⃗=0\mathrm{\vec{OP}} \cdot \vec{AP} = 0에서 OP‾⊥AP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} \perp \overline{AP} OQ⃗⋅AQ⃗=0\mathrm{\vec{OQ}} \cdot \vec{AQ} = 0에서 OQ‾⊥AQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} \perp \overline{AQ} 직각삼각형 OAP\mathrm{OAP}에서 OA‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 5, OP‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 2이므로 cos⁡(∠AOP)=25\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{AOP} \right) = \frac{2}{5} 직각삼각형 OAQ\mathrm{OAQ}에서 OA‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 5, AQ‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = 1이므로 cos⁡(∠QAO)=15\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{QAO} \right) = \frac{1}{5} 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}에서 xx축에 내린 수선의 발을 각각 H\mathrm{H}, H′\mathrm{H}'이라 하면 OH‾=OP‾×cos⁡(∠AOP)=2×25=45\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = {\overline{\mathrm{OP}}} \times \cos \left( \angle \mathrm{AOP} \right) = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5} H′A‾=QA‾×cos⁡(∠QAO)=1×15=15\displaystyle \mathrm{\overline{H' A}} = {\overline{\mathrm{QA}}} \times \cos \left( \angle \mathrm{QAO} \right) = 1 \times \frac{1}{5} = \frac{1}{5} 이므로 HH′‾=OH′‾−OH‾\displaystyle \mathrm{\overline{HH'}} = {\overline{\mathrm{OH}'}} - {\overline{\mathrm{OH}}}=(5−15)−45=4\displaystyle = \left( 5 - \frac{1}{5} \right) - \frac{4}{5} = 4 따라서 OA⃗⋅PQ⃗\mathrm{\vec{OA}} \cdot {\vec{PQ}}=OA‾×HH′‾\displaystyle \mathrm{=} {\overline{OA}} \times {\overline{HH'}}=5×4= 5 \times 4=20= 20

태그

#벡터의 내적#정사영

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