기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

벡터의 크기

문제

평면 위에 길이가 11인 선분 AB\mathrm{AB}와 점 C\mathrm{C}가 있다. AB⃗⋅BC⃗=0{\vec{\mathrm{AB}}} \cdot {\vec{\mathrm{BC}}} = 0이고 ∣AB⃗+AC⃗∣=4\mathrm{\left| {\vec{AB}} + {\vec{AC}} \right|} = 4일 때, ∣BC⃗∣\mathrm{\left| {\vec{BC}} \right|}의 값은? [3점] ①22②22\displaystyle 2 \sqrt{2}③33④23\displaystyle 2 \sqrt{3}⑤44

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 벡터의 내적과 벡터의 크기 사이의 관계를 이해한다. AB⃗⋅BC⃗=0{\vec{\mathrm{AB}}} \cdot {\vec{\mathrm{BC}}} = 0이므로 AB⃗⊥BC⃗{\vec{\mathrm{AB}}} \perp {\vec{\mathrm{BC}}}이다. 선분 BC\mathrm{BC}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하면 ∣AB⃗+AC⃗∣=∣2AM⃗∣\mathrm{\left| {\vec{AB}} + {\vec{AC}} \right|} = \left| 2 {\vec{AM}} \right|=4= 4이므로 ∣AM⃗∣=2\mathrm{\left| \vec{AM} \right|} = 2 따라서 직각삼각형 ABM\mathrm{ABM}에서 BM‾\displaystyle \mathrm{\overline{BM}}=AM‾2−AB‾2\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{AM}} ^{2} - {\overline{AB}} ^{2}}=22−12\displaystyle = \sqrt{2 ^{2} - 1 ^{2}}=3\displaystyle = \sqrt{3}이므로 ∣BC⃗∣\mathrm{\left| {\vec{BC}} \right|}=2∣BM⃗∣= \mathrm{2} \left| {\vec{BM}} \right|=2BM‾\displaystyle \mathrm{=} 2 {\overline{BM}}=23\displaystyle = 2 \sqrt{3} [다른 풀이] AB⃗⋅BC⃗=0{\vec{\mathrm{AB}}} \cdot {\vec{\mathrm{BC}}} = 0에서 AB⃗⋅(AC⃗−AB⃗){\vec{\mathrm{AB}}} \cdot \left( {\vec{\mathrm{AC}}} - {\vec{\mathrm{AB}}} \right)=AB⃗⋅AC⃗−∣AB⃗∣2= {\vec{\mathrm{AB}}} \cdot {\vec{\mathrm{AC}}} - \left| {\vec{\mathrm{AB}}} \right| ^{2}=0= 0 이고 AB‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 1이므로 AB⃗⋅AC⃗{\vec{\mathrm{AB}}} \cdot {\vec{\mathrm{AC}}}=∣AB⃗∣2= \left| {\vec{\mathrm{AB}}} \right| ^{2}=1= 1 ∣BC⃗∣2\left| {\vec{\mathrm{BC}}} \right| ^{2}=∣AC⃗−AB⃗∣2= \left| {\vec{\mathrm{AC}}} - {\vec{\mathrm{AB}}} \right| ^{2}=∣AC⃗+AB⃗∣2−4AC⃗⋅AB⃗= \left| {\vec{\mathrm{AC}}} + {\vec{\mathrm{AB}}} \right| ^{2} - 4 {\vec{\mathrm{AC}}} \cdot {\vec{\mathrm{AB}}} =42−4= 4 ^{2} - 4=12= 12 따라서 ∣BC⃗∣\left| {\vec{\mathrm{BC}}} \right|=23\displaystyle = 2 \sqrt{3}

태그

#내적#벡터의 크기

비슷한 문제 더 보기

기하 문제 모음기하 평면벡터 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음
← 전체 문제 목록으로