기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

벡터가 이루는 각

문제

크기가 11인 두 벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}가 ∣a⃗−b⃗∣=1| \vec{a} - \vec{b} | = 1을 만족할 때, a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}가 이루는 각 θ\theta의 크기는? (단, 0≤θ≤π0 \leq \theta \leq \pi) [3점] ①π6\displaystyle \frac{\pi}{6}②π4\displaystyle \frac{\pi}{4}③π3\displaystyle \frac{\pi}{3}④π2\displaystyle \frac{\pi}{2}⑤π\pi

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③

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해설

∣a⃗−b⃗∣=1| \vec{a} - \vec{b} | = 1의 양변을 제곱하면 ∣a⃗∣2−2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2=1| \vec{a} | ^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} | ^{2} = 1 ∣a⃗∣=∣b⃗∣=1| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1이므로 1−2a⃗⋅b⃗+1=11 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + 1 = 1 ∴ a⃗⋅b⃗=12\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} 따라서, cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\displaystyle \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}이므로 cos⁡θ=121⋅1=12\displaystyle \cos \theta = \frac{\frac{1}{2}}{1 \cdot 1} = \frac{1}{2} ∴ θ=π3(∵0≤θ≤π)\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3} ( \because 0 \leq \theta \leq \pi )

태그

#벡터#내적#사잇각

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