기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

벡터 사잇각

문제

두 평면벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}가 ∣a⃗∣=1\left| \vec{a} \right| = 1, ∣b⃗∣=3\left| \vec{b} \right| = 3, ∣2a⃗+b⃗∣=4\left| 2 \vec{a} + \vec{b} \right| = 4 를 만족시킬 때, 두 평면벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}가 이루는 각을 θ\theta라 하자. cos⁡θ\cos \theta의 값은? [3점] ①18\displaystyle \frac{1}{8}②316\displaystyle \frac{3}{16}③14\displaystyle \frac{1}{4}④516\displaystyle \frac{5}{16}⑤38\displaystyle \frac{3}{8}

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③

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해설

[출제의도] 두 평면벡터의 내적 이해하기 ∣2a⃗+b⃗∣2=(2a⃗+b⃗)⋅(2a⃗+b⃗)\left| 2 {\vec{a}} + {\vec{b}} \right| ^{2} = \left( 2 \vec{a} + \vec{b} \right) \cdot \left( 2 \vec{a} + \vec{b} \right) =4∣a⃗∣2+4a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2= 4 \left| \vec{a} \right| ^{2} + 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + \left| \vec{b} \right| ^{2} =4∣a⃗∣2+4∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ+∣b⃗∣2= 4 \left| \vec{a} \right| ^{2} + 4 \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right| ^{2} =13+12cos⁡θ=16= 13 + 12 \cos \theta = 16 따라서 cos⁡θ=14\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{4}

태그

#벡터의 내적#사잇각

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