기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

벡터 내적의 최솟값

문제

그림과 같이 평면 위에 정삼각형 ABCABC와 선분 ACAC를 지름으로 하는 원 OO가 있다. 선분 BCBC위의 점 DD를 ∠DAB=π15\displaystyle \angle DAB = \frac{\pi}{15}가 되도록 정한다. 점 XX가 원 OO위를 움직일 때, 두 벡터 AD⃗,CX⃗\vec{AD} , \vec{CX}의 내적 AD⃗⋅CX⃗\vec{AD} \cdot \vec{CX}의 값이 최소가 되도록 하는 점 XX를 점 PP라 하자. ∠ACP=qpπ\displaystyle \angle ACP = \frac{q}{p} \pi일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

AD⃗⋅CX⃗=AD⃗⋅(AX⃗−AC⃗)\vec{AD} \cdot \vec{CX} = \vec{AD} \cdot \left( \vec{AX} - \vec{AC} \right) =AD⃗⋅AX⃗−AD⃗⋅AC⃗= \vec{AD} \cdot \vec{AX} - \vec{AD} \cdot \vec{AC} ⋯⋯\cdots \cdots㉠\text{㉠} 세 점 A,C,DA , C , D는 고정된 점이므로 AD⃗⋅AC⃗\vec{AD} \cdot \vec{AC}는 상수이다. 따라서, ㉠\text{㉠}에서 AD⃗⋅CX⃗\vec{AD} \cdot \vec{CX}의 값이 최소가 되려면 AD⃗⋅AX⃗\vec{AD} \cdot \vec{AX}의 값이 최소가 되어야 한다. 두 벡터 AD⃗,AX⃗\vec{AD} , \vec{AX}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하면 AD⃗⋅AX⃗=∣AD⃗∣∣AX⃗∣cos⁡θ\vec{AD} \cdot \vec{AX} = \left| \vec{AD} \right| \left| \vec{AX} \right| \cos \theta이고, ∣AD⃗∣\left| \vec{AD} \right|의 값은 상수이므로 ∣AX⃗∣cos⁡θ\left| \vec{AX} \right| \cos \theta의 값이 최소이어야 한다. 그림과 같이 직선 ADAD와 수직인 직선이 원과 접할 때의 접점을 PP라 하면 ∣AX⃗∣cos⁡θ≥∣AP⃗∣cos⁡θ\left| \vec{AX} \right| \cos \theta \geq \left| \vec{AP} \right| \cos \theta=−∣AQ⃗∣= - \left| \vec{AQ} \right| 이 때, ∠POA=∠OAD=π3−π15=415π\displaystyle \angle POA = \angle OAD = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{15} = \frac{4}{15} \pi이므로 2∠ACP=∠AOP2 \angle ACP = \angle AOP에서 ∠ACP=12×415π=215π\displaystyle \angle ACP = \frac{1}{2} \times \frac{4}{15} \pi = \frac{2}{15} \pi ∴p+q=15+2=17\therefore p + q = 15 + 2 = 17

태그

#벡터의 내적#정사영#원주각

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