벡터 내적 최소 조건

점 $\mathrm{P}$는 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 점이고, 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{B}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$인 원 위의 점이다. 또, 선분 $\mathrm{AP}$의 중점을 점 $\mathrm{M}$이라 하면 $\mathrm{\vec{AP}} \bullet \left( {\vec{QA}} + {\vec{QP}} \right)$$= \mathrm{\vec{AP}} \bullet {\vec{QM}} = 0$ 이므로 직선 $\mathrm{AP}$와 직선 $\mathrm{QM}$은 서로 수직이다.

삼각형 $\mathrm{QAP}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = {\overline{AM}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = {\overline{AQ}}$ 따라서 $\mathrm{\left| {\vec{PQ}} \right|}$의 최솟값은 $\mathrm{\left| {\vec{AQ}} \right|}$의 최솟값과 같으므로 다음 그림과 같이 선분 $\mathrm{BA}$의 연장선이 점 $\mathrm{B}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$인 원과 만나는 점이 $\mathrm{Q}$일 때, $\mathrm{\left| {\vec{AQ}} \right|}$, 즉 $\mathrm{\left| {\vec{PQ}} \right|}$가 최솟값을 갖는다. 이때, 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\left( 1 , - 2 \right)$이므로 직선 $\mathrm{QM}$의 방정식은 $y = - 2 x$

직선 $\mathrm{AP}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} \left( x - 1 \right)$과 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$의 교점의 $x$좌표는 $\displaystyle x ^{2} + \left\{ \frac{1}{2} \left( x - 1 \right) \right\} ^{2} = 1$ 에서 $x = 1$ 또는 $\displaystyle x = - \frac{3}{5}$ $x = 1$이면 $\mathrm{A}$는 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$와 같아지므로 구하는 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P} \left( - \frac{3}{5} , - \frac{4}{5} \right)$ $\therefore$ $\mathrm{\vec{AP}} \bullet {\vec{BQ}}$$\displaystyle = \left( - \frac{8}{5} , - \frac{4}{5} \right) \bullet \left( 0 , - 3 \right)$$\displaystyle = \frac{12}{5}$