벡터 내적 최댓값

[출제의도] 이해능력-평면벡터

선분 $AB$의 중점을 $M$이라 하면 $\mathrm{\left| {\vec{PA}} + {\vec{PB}} \right|} = 2 \left| {\vec{PM}} \right|$이므로 $\mathrm{\left| {\vec{PA}} - {\vec{PB}} \right|} = \left| {\vec{BA}} \right| = a ( a > 0 )$으로 놓으면 조건 (나)에 의하여 $\mathrm{2} \left| {\vec{PM}} \right| = 2 a$, 즉 $\mathrm{\left| {\vec{PM}} \right|} = a$ 따라서 점 $P$는 선분 $AB$의 중점 $M$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $a$인 원 위의 점이다. 점 $C$에서 직선 $AB$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 조건 (가)에서 $\displaystyle \mathrm{\vec{AB}} \bullet {\vec{AC}} = {\overline{AH}} \times {\overline{AB}} = \frac{1}{2} {\overline{AB}} ^{2}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \frac{1}{2} {\overline{AB}}$이므로 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$과 일치하고 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = {\overline{AC}} = 4$ 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}'$이라 하면 $\mathrm{\vec{PB}} \bullet {\vec{PC}}$$\mathrm{=} \left( {\vec{PM'}} + {\vec{M' B}} \right) \bullet \left( {\vec{PM'}} + {\vec{M' C}} \right)$ $\mathrm{=} \left| {\vec{PM'}} \right| ^{2} + {\vec{PM'}} \bullet \left( {\vec{M' B}} + {\vec{M' C}} \right) + {\vec{M' B}} \bullet {\vec{M' C}}$ 이때 $\mathrm{\vec{M' B}} + {\vec{M' C}} = 0 , {\vec{M' B}} \bullet {\vec{M' C}} = - \left| {\vec{M' B}} \right| ^{2}$ 이므로 $\mathrm{\vec{PB}} \bullet {\vec{PC}} = \left| {\vec{PM'}} \right| ^{2} - \left| {\vec{M' B}} \right| ^{2}$ 점 $\mathrm{M}'$은 직각삼각형 $\mathrm{CMB}$의 빗변 $\mathrm{CB}$의 중점이므로 세 점 $\mathrm{C} , M , B$는 중심이 $\mathrm{M}'$인 원 위의 점이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{M' B}} = {\overline{M' C}} = {\overline{M' M}} = 2$이다. 이때 $\displaystyle \mathrm{\left| {\vec{PM'}} \right|} = {\overline{PM'}} \leq {\overline{PM}} + {\overline{MM'}}$$= a + 2$ 이므로 $\mathrm{\vec{PB}} \bullet {\vec{PC}} = \left| {\vec{PM'}} \right| ^{2} - \left| {\vec{M' B}} \right| ^{2}$$\leq ( a + 2 ) ^{2} - 2 ^{2} = a ^{2} + 4 a$ $\mathrm{\vec{PB}} \bullet {\vec{PC}}$의 최댓값이 20이므로 $a ^{2} + 4 a = 20$, $a ^{2} + 4 a - 20 = 0$ 이때 $a > 0$이므로 $\displaystyle a = \sqrt{24} - 2$ 따라서 $p = 24$, $q = 2$이므로 $p + q = 26$