벡터 내적 최대최소

[출제의도] 벡터의 내적의 정의를 활용할 수 있는가? $\mathrm{\left| {\vec{AP}} \right|} = 1$이므로 점 $\mathrm{P}$는 중심이 $\mathrm{A} \left( - 3 , 1 \right)$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 점이다. 또, $\mathrm{\left| {\vec{BQ}} \right|} = 2$이므로 점 $\mathrm{Q}$는 중심이 $\mathrm{B} \left( 0 , 2 \right)$이고 반지름의 길이가 $2$인 원 위의 점이다. $\displaystyle \mathrm{\vec{AP}} \bullet {\vec{OC}} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$에서 두 벡터 $\mathrm{\vec{AP}}$, $\mathrm{\vec{OC}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\left| {\vec{AP}} \right|} \left| {\vec{OC}} \right| \cos \theta \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle \cos \theta \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle - \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ 그러므로 점 $\mathrm{P}$를 나타내면 그림과 같다.

또, 두 벡터 $\mathrm{\vec{AP}}$, $\mathrm{\vec{AQ}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta'$이라 하면 $\mathrm{\vec{AP}} \bullet {\vec{AQ}}$$= \mathrm{\left| {\vec{AP}} \right|} \left| {\vec{AQ}} \right| \cos \theta'$$= \left| {\vec{\mathrm{AQ}}} \right| \cos \theta'$ 그러므로 이 값이 최소이기 위해서는 점 $\mathrm{P}$는 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 기울기가 $- 1$인 직선 위의 점이어야 하고, 점 $\mathrm{Q}$는 이 직선과 수직이면서 원 $x ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 4$에 접하는 점 중 제 $2$사분면의 점이어야 한다.

한편, $\mathrm{\vec{BX}} \bullet {\vec{BQ _{0}}} \geq 1$에서 두 벡터 $\mathrm{\vec{BX}}$, $\mathrm{\vec{BQ _{0}}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta''$이라 하면 $\mathrm{\left| {\vec{BX}} \right|} \left| {\vec{BQ _{0}}} \right| \cos \theta'' \geq 1$ $2 \mathrm{\left| {\vec{BX}} \right|} \cos \theta'' \geq 1$ $\displaystyle \mathrm{\left| {\vec{BX}} \right|} \cos \theta'' \geq \frac{1}{2}$ 그러므로 선분 $\mathrm{BQ} _{0}$위의 점 $\mathrm{D}$를 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \frac{1}{2}$가 되도록 잡은 후, 점 $\mathrm{D}$에서 점 $\mathrm{A}$를 지나고 기울기가 $- 1$인 직선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}'$이라 하면 점 $\mathrm{X}$는 선분 $\mathrm{AD}'$위의 점이다.

따라서, $\mathrm{\left| {\vec{Q _{0} X}} \right|}$의 최댓값은 $X$가 $\mathrm{D}'$일 때 가지므로 $\mathrm{\left| {\vec{Q _{0} X}} \right|} ^{2}$의 최댓값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{Q _{0} D}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{Q} _{0} D}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DD}'}} ^{2}$$\displaystyle = \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} + \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{9}{4} + 8$$\displaystyle = \frac{41}{4}$ 그러므로 $p + q = 4 + 41 = 45$