벡터 내적 최대최소

${\vec{\mathrm{PA}}} \bullet {\vec{\mathrm{PQ}}} = \left| {\vec{\mathrm{PQ}}} \right| ^{2}$에서 두 벡터 ${\vec{\mathrm{PA}}}$와 ${\vec{\mathrm{PQ}}}$가 이루는 각의 크기를 $t \left( 0 \leq t \leq \pi \right)$라 하면 ${\vec{\mathrm{PA}}} \bullet {\vec{\mathrm{PQ}}} = \left| {\vec{\mathrm{PA}}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{PQ}}} \right| \times \cos t = \left| {\vec{\mathrm{PQ}}} \right| ^{2}$ 이므로 $\displaystyle \angle {\mathrm{PQA}} = \frac{\pi}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $10 {\vec{\mathrm{BQ}}} = 2 {\vec{\mathrm{BA}}} + 3 {\vec{\mathrm{AD}}}$에서 ${\vec{\mathrm{AD}}} = {\vec{\mathrm{BC}}}$이므로 $10 {\vec{\mathrm{BQ}}} = 2 {\vec{\mathrm{BA}}} + 3 {\vec{\mathrm{BC}}}$ $\displaystyle 2 {\vec{\mathrm{BQ}}} = \frac{2 {\vec{\mathrm{BA}}} + 3 {\vec{\mathrm{BC}}}}{5}$ 선분 ${\mathrm{AC}}$를 $3 : 2$로 내분하는 점을 ${\mathrm{E}}$라 하면 $2 {\vec{\mathrm{BQ}}} = {\vec{\mathrm{BE}}}$이므로 점 ${\mathrm{Q}}$는 선분 ${\mathrm{BE}}$의 중점이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 10$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = 6$이므로 삼각형 ${\mathrm{ABE}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AE}}}$인 이등변삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} \perp {\overline{\mathrm{BQ}}}$

㉠에 의하여 세 점 ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{P}}$는 한 직선 위에 있다. 점 ${\mathrm{E}}$에서 선분 ${\mathrm{BC}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{F}}$라 하면 두 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$와 ${\mathrm{EFC}}$는 서로 닮음이고 닮음비가 $5 : 2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} = \frac{2}{5} \times {\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{12}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{FC}}} = \frac{2}{5} \times {\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{16}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} - {\overline{\mathrm{FC}}} = \frac{24}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{BF}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{EF}}} ^{2}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BE}}} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ 두 삼각형 ${\mathrm{BFE}}$와 ${\mathrm{BCP}}$는 서로 닮음이고 닮음비가 $3 : 5$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}} = \frac{5}{3} \times {\overline{\mathrm{BE}}} = 4 \sqrt{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{BP}}} - {\overline{\mathrm{BQ}}} = 4 \sqrt{5} - \frac{6 \sqrt{5}}{5} = \frac{14 \sqrt{5}}{5}$ $\left( {\vec{\mathrm{AR}}} + {\vec{\mathrm{QR}}} \right) \bullet \left( {\vec{\mathrm{PR}}} + {\vec{\mathrm{QR}}} \right) = 0$에서 $\displaystyle \left( \frac{{\vec{\mathrm{AR}}} + {\vec{\mathrm{QR}}}}{2} \right) \bullet \left( \frac{{\vec{\mathrm{PR}}} + {\vec{\mathrm{QR}}}}{2} \right) = 0$이므로 선분 ${\mathrm{AQ}}$의 중점을 ${\mathrm{M}}$, 선분 ${\mathrm{PQ}}$의 중점을 ${\mathrm{N}}$이라 하면 점 ${\mathrm{R}}$은 두 점 ${\mathrm{M}}$과 ${\mathrm{N}}$을 지름의 양 끝점으로 하는 원 위의 점이다. 이 원의 중심을 ${\mathrm{O}}$, 점 ${\mathrm{O}}$에서 선분 ${\mathrm{BP}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{O}}'$이라 하자.

${\vec{\mathrm{BR}}} \bullet {\vec{\mathrm{QP}}}$$= \left( {\vec{\mathrm{BO}}} + {\vec{\mathrm{OR}}} \right) \bullet {\vec{\mathrm{QP}}}$ $= {\vec{\mathrm{BO}}} \bullet {\vec{\mathrm{QP}}} + {\vec{\mathrm{OR}}} \bullet {\vec{\mathrm{QP}}}$ ${\vec{\mathrm{BO}}} \bullet {\vec{\mathrm{QP}}} = \left| {\vec{{\mathrm{BO}}'}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{QP}}} \right|$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{BO}}'}} = {\overline{\mathrm{BQ}}} + {\overline{{\mathrm{QO}}'}} = {\overline{\mathrm{BQ}}} + \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{NQ}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{NQ}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{PQ}}} = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{BO}}'}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BQ}}} + \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{NQ}}}$$\displaystyle = \frac{6 \sqrt{5}}{5} + \frac{7 \sqrt{5}}{10} = \frac{19 \sqrt{5}}{10}$ ${\vec{\mathrm{BO}}} \bullet {\vec{\mathrm{QP}}}$$= \left| {\vec{{\mathrm{BO}}'}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{QP}}} \right|$$\displaystyle = \frac{19 \sqrt{5}}{10} \times \frac{14 \sqrt{5}}{5} = \frac{133}{5}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 두 벡터 ${\vec{\mathrm{OR}}}$과 ${\vec{\mathrm{QP}}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta \left( 0 \leq \theta \leq \pi \right)$라 하면 ${\vec{\mathrm{OR}}} \bullet {\vec{\mathrm{QP}}} = \left| {\vec{\mathrm{OR}}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{QP}}} \right| \times \cos \theta$ $\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{OR}}} \right| = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{MN}}}$ 삼각형 ${\mathrm{AQB}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{BQ}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{6 ^{2} - \left( \frac{6 \sqrt{5}}{5} \right) ^{2}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{MQ}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AQ}}} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ 삼각형 ${\mathrm{MQN}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{MN}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{MQ}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{NQ}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \frac{6 \sqrt{5}}{5} \right) ^{2} + \left( \frac{7 \sqrt{5}}{5} \right) ^{2}} = \sqrt{17}$ $\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{OR}}} \right| = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{MN}}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$ ${\vec{\mathrm{OR}}} \bullet {\vec{\mathrm{QP}}}$$= \left| {\vec{\mathrm{OR}}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{QP}}} \right| \times \cos \theta$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{17}}{2} \times \frac{14 \sqrt{5}}{5} \times \cos \theta$$\displaystyle = \frac{7 \sqrt{85}}{5} \cos \theta$ ${\vec{\mathrm{OR}}} \bullet {\vec{\mathrm{QP}}}$의 최댓값은 $\theta = 0$일 때, $\displaystyle \frac{7 \sqrt{85}}{5}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ${\vec{\mathrm{OR}}} \bullet {\vec{\mathrm{QP}}}$의 최솟값은 $\theta = \pi$일 때, $\displaystyle - \frac{7 \sqrt{85}}{5}$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉡, ㉢, ㉣에 의하여 ${\vec{\mathrm{BR}}} \bullet {\vec{\mathrm{QP}}}$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$은 $\displaystyle M = \frac{133 + 7 \sqrt{85}}{5}$, $\displaystyle m = \frac{133 - 7 \sqrt{85}}{5}$ 따라서 $\displaystyle M + m = \frac{133 + 7 \sqrt{85}}{5} + \frac{133 - 7 \sqrt{85}}{5} = \frac{266}{5}$